¿Cuál es la derivada de 1 / arcsinx?

Answer 1

Hay dos formas de resolver esto. Puede multiplicar ambos lados por [math] \ arcsin (x) [/ math], y usar la regla del producto, o puede hacerlo más directamente y usar la regla del cociente. Prefiero usar la regla del cociente.

Solo un repaso rápido sobre cuál es la regla del cociente:

[matemáticas] \ frac {d} {dx} \ frac {u} {v} = \ frac {v \ frac {du} {dx} – u \ frac {dv} {dx}} {v ^ 2} [/ matemáticas]

Tangente Rápida:

Es un poco bocado, pero un dispositivo mnemotécnico útil para emplear es decir “denom denum” para comenzar. Esto podría ser la abreviatura de “Denominador multiplicado por la derivada del numerador, menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, en todo el denominador al cuadrado”. Ese es el bocado del que estaba hablando.

De acuerdo, con ese repaso rápido con tangente terminado, podemos aplicarlo a nuestra pregunta real:

[matemáticas] \ frac {d} {dx} \ frac {1} {\ arcsin (x)} [/ matemáticas]

Primero, encuentre los derivados que necesita.

[matemáticas] \ frac {d} {dx} 1 = 0 [/ matemáticas]

La derivada de una constante es 0. Siempre.

[matemáticas] \ frac {d} {dx} \ arcsin (x) = \ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ 2}} [/ matemáticas]

La prueba de esto es larga y difícil. Todo lo que necesita saber es que es una regla derivada estándar. Armados con esta nueva información, podemos declarar: “¡ Estamos listos! ”

Simplemente conecte los derivados y lo tenemos:

[matemáticas] \ frac {d} {dx} \ frac {1} {\ arcsin (x)} = \ frac {(\ arcsin (x) * 0) – (1 * \ frac {1} {\ sqrt {1 – {x} ^ {2}}})} {{\ arcsin} ^ {2} (x)} [/ math]

Esta es una respuesta perfectamente buena, pero probablemente deberíamos limpiarla un poco.

Deshágase de [math] \ arcsin (x) * 0 [/ math] en el numerador.

[matemáticas] \ frac {d} {dx} \ frac {1} {\ arcsin (x)} = \ frac {\ frac {1} {\ sqrt {1- {x} ^ {2}}}} {{ \ arcsin} ^ {2} (x)} [/ math]

Luego, mueva el [math] \ sqrt {1-x ^ 2} [/ math] abajo.

[matemáticas] \ frac {d} {dx} \ frac {1} {\ arcsin (x)} = \ frac {1} {\ arcsin (x) \ sqrt {1- {x} ^ {2}}} [ /matemáticas]

Creo que es tan bueno como se va a poner.

Espero que esto haya sido un poco útil.

Answer 2

Solo por simplicidad llamemos a la expresión [math] y [/ math], entonces tenemos

[matemáticas] y = \ frac {1} {\ arcsin x} \ tag 1 [/ matemáticas]

Ahora desde (1) hay algunos enfoques diferentes, digamos, por ejemplo, multiplicando ambos lados por [math] \ arcsin x [/ math] para obtener

[matemáticas] y \ arcsin x = 1 \ etiqueta 2 [/ matemáticas]

Diferenciar ambos lados de (2) usando la regla del producto en el lado izquierdo

[matemática] y \ times \ dfrac {1} {\ sqrt (1-x ^ {2})} + \ dfrac {dy} {dx} \ times \ arcsin x = 0 [/ math]

Ahora resuelva la derivada para obtener

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = – \ dfrac {y} {\ arcsin x \ sqrt (1-x ^ {2})} \ tag 3 [/ matemáticas]

Sustituya (1) en (3) para obtener la respuesta final

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = – \ dfrac {1} {(\ arcsin x) ^ {2} \ sqrt (1-x ^ {2})} [/ matemáticas]

Answer 3

El problema aquí no es solo el uso de la regla del cociente o la regla de potencia, ya que son simples si conoce la derivada de [math] \ arcsin x [/ math]. Vamos a deducirlo dejando [math] u = \ arcsin x [/ math]. Luego [math] x = \ sen u [/ math] y tomando la derivada, [math] 1 = u ‘\ cos u \ Rightarrow u’ = \ frac {1} {{\ cos u}} [/ math]. Pero [matemáticas] \ cos u = \ sqrt {1 – {{\ sin} ^ 2} u} = \ sqrt {1 – {x ^ 2}} [/ matemáticas]. Entonces

[matemáticas] u ‘= \ frac {1} {{\ sqrt {1 – {x ^ 2}}}} [/ matemáticas].

Ahora continúa.