¿Por qué necesitas un “terreno común” cuando conduces un dispositivo usando un mosfet y un arduino?

Diferencia de potencial.
Lo que sucede es que cuando una batería que conduce un dispositivo produce (digamos) 9 voltios, produce una diferencia de 9 voltios en sus dos terminales. Lo que significa que si midiera el voltaje en el terminal positivo de la batería con respecto a algún otro nodo en su circuito, o algún otro circuito, no verá 9V. El terminal positivo de la batería es 9 voltios más alto que el terminal negativo. Esta diferencia de potencial es lo que impulsa un circuito.
Ahora, si está utilizando un circuito externo con el Arduino, el voltaje de ‘tierra’ de ese circuito no será necesariamente (y generalmente nunca) el voltaje de tierra del Arduino. Del mismo modo, el 5V de Arduino no será un 5V para ese circuito. Por lo tanto, necesita un punto de referencia común para que ambos circuitos se “comprendan” entre sí. Un punto de tierra común desde donde se medirían los voltajes de la batería y Arduino. En una explicación más detallada, esto equivaldría a por qué necesita un circuito “completo” o un bucle.

Esto se suma a la respuesta de Anónimo que explica cómo los electrones necesitan “fluir” comúnmente en todo el circuito.

Por lo general, necesita el terreno de referencia. Pero a veces eso no es una buena idea, como los circuitos que conmutan altos voltajes. Por lo general, desea aislar el Arduino de altos voltajes para que se use un optoaislador para indicar al mosfet que es hora de encenderlo. Dentro del optoaislador hay un diodo IR y un fototransistor. El Arduino enciende el diodo IR, se emite luz dentro del optoaislador y enciende el fototransistor. Por lo tanto, los dos circuitos están acoplados ópticamente, pero eléctricamente son circuitos completamente separados. Si compra una placa de relé Arduino, a menudo esas son placas de relé ópticamente aisladas, principalmente por seguridad, pero también porque no hay posibilidad de que el voltaje de retroceso inductivo de la bobina de relé destruya un pin de salida de Arduino.

Es bastante simple responder esta pregunta.

La tierra común no es más que un voltaje común y generalmente es 0V.

Ver puntos en común es como un punto de referencia si mide dos cosas con dos puntos de referencia diferentes, entonces definitivamente habrá un error.

Cuando estamos usando un terreno común, no estamos haciendo nada más que crear un solo marco de referencia.

Porque los electrones necesitan fluir de regreso a la batería. No puede hacer que la carga salga de la batería y no vuelva a entrar. El número total de electrones en la batería o cualquier material debe permanecer igual.

La batería no le gustará si solo toma electrones y no los devuelve; dejará de enviarte más electrones.