¿Cómo una transformación de Laplace de cualquier función de dominio de tiempo da una función dentro de un dominio de frecuencia?

Porque multiplicamos deliberadamente la función con funciones oscilatorias exponenciales. Esa frecuencia no es un Hertz o por segundo. La frecuencia aquí es una oscilación entre el eje real e imaginario con una envolvente definida.

[matemáticas] \ displaystyle LT \ = \ \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \, F (t) \ e ^ {- st} \ dt [/ math]


es decir, [matemáticas] \ displaystyle LT \ = \ \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \, \ underbrace {F (t)} _ {a \ time \ domain \ signal} \ \ overbrace {e ^ {-st}} ^ {exponencial \ oscilatorio \ funciones} \ dt [/ math]


podemos escribir, [matemáticas] \ displaystyle LT \ = \ \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \, F (t) \ e ^ {- (\ sigma + j \ \ omega) t} \ dt [/matemáticas]


es decir, [matemáticas] \ displaystyle LT \ = \ \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \, F (t) \ \ underbrace {e ^ {- (\ sigma) t}} _ {real \ atenuación \ o \ amortiguamiento} \ \ overbrace {e ^ {(- j \ \ omega) t}} ^ {imaginario \ sinusoide \ o \ envolvente} dt [/ math]


Cuando esto [matemática] e ^ {- (\ sigma) t} \ [/ matemática] es igual a 1 o cuando es [matemática] \ sigma [/ matemática] cero, nos queda solo una respuesta senoidal oscilatoria, que se generaliza como Fourier transformar. No todas las señales de dominio de tiempo pueden transformarse en dominio de frecuencia. En la transformación LT y FT existe la limitación de que solo se puede aplicar a la señal estacionaria.