¿Por qué las pruebas en los libros de texto de matemáticas rara vez tienen sentido?

Answer 1

Personalmente, he encontrado más gratificante reprobar los resultados de una manera diferente después de leer una prueba (o probar el resultado antes de leer la prueba del libro de texto). Trate de llegar a una explicación diferente de por qué sigue la conclusión.
También descubrí que entiendo una prueba que he construido por mi cuenta mejor de lo que podría darse en un libro de texto. Puede crear un diario matemático que contenga las pruebas incorrectas (y correctas) que haya encontrado junto con la razón por la cual la prueba puede ser incorrecta (o correcta).

Además, cuando leo una prueba, me resulta gratificante intentar anticipar el próximo movimiento. Una prueba es como un juego de ajedrez, ¡debes anticipar el próximo movimiento de tu oponente!

De esta manera, comenzará a construir una intuición sobre por qué ciertas declaraciones deben seguir y podrá ‘sentir’ que una declaración es verdadera sin tener un argumento riguroso que la respalde en este momento. También podrá ver que una declaración o conjetura es falsa incluso sin conocer ningún contraejemplo.

Les puedo asegurar que casi todos han tenido la misma experiencia que tienen actualmente. No es raro

Antes de leer una prueba, hágase estas preguntas:

¿Qué técnica de prueba será ideal para este problema?
¿Será suficiente un simple argumento de inducción?
¿Qué lema puedo crear para facilitar la prueba?
¿Hay resultados conocidos que estén relacionados con esto de alguna manera?
¿Es esto una generalización de un resultado bien conocido?
etc.

Además, puede intentar crear conjeturas y probarlas (o refutarlas). Esto lo ayudará a generar confianza en su capacidad para probar resultados desconocidos.

Answer 2

Creo que esta es una habilidad que uno tiene que aprender por sí misma. Desde mi experiencia, la mejor manera de hacerlo es mirar una prueba y elegir los componentes clave. De esto se puede aprender la maquinaria clave de un campo en particular y cómo esas piezas de maquinaria trabajan juntas para definir un campo. Un buen ejemplo de esto en Real Analysis serían los conjuntos porque cuando uno aprende acerca de los conjuntos, se hace usando teoremas y ejercicios de topología de conjuntos de puntos (Topología general) para hablar sobre las propiedades básicas de los conjuntos. Si bien distinguir qué conjuntos son perfectos y cuáles no no aparece en las etapas avanzadas de análisis, es una continuación natural, ya que de los conjuntos se deriva una definición rigurosa de continuidad y diferenciabilidad de una función, así como el concepto de un medir) Medir (matemáticas) para un conjunto particular, las cuales son las dos operaciones principales en Análisis.
Entonces, si tiene ganas de probar que algo solo está pasando por los movimientos, puede valer la pena volver a la motivación original de estos conceptos y ver cómo se extienden. En cuanto a encontrar una prueba importante, no tenga miedo si no fluye tan bien de lo básico como una prueba dada en el libro, simplemente revise toda la maquinaria principal y vea cuál de los trabajos resolver el problema. No siempre será una aplicación sencilla. Una buena manera de comenzar sería tomar un campo con el que ya está familiarizado y volver sobre él con la intención de probarlo todo. Un ejemplo tradicional sería ‘Calculus’ de Michael Spivak.
Para responder a su pregunta sobre la duda, es importante darse cuenta de que nada se prueba hasta que se deduce de axiomas establecidos, generalmente los postulados de Euclides para la geometría o los axiomas de un campo real para mucho más. Si no puede resumir un camino relativamente corto desde el comienzo de su campo hasta el teorema, entonces es muy probable que su creencia sea demasiado ondulada para ser rigurosa. Vea:) http://www.abstrusegoose.com/230 para un Buena ilustración del proceso de pensamiento detrás de una prueba matemática. Ver también: http://terrytao.wordpress.com/ca … para un buen tratamiento de hacer preguntas (una habilidad posiblemente tan importante como contestarlas)

Answer 3

Supongo que es culpa de Euclides. Todos siguieron su ejemplo.

En lugar de comenzar con la pregunta y trabajar hacia la respuesta (un enfoque analítico), comenzó con la respuesta y desarrolló la pregunta (un enfoque sintético).

Una prueba sintética no indica cómo se encontró o hacia dónde va. Si lo sigue, puede verificar que cada paso sea válido, por lo que la conclusión final es válida, pero no es una forma satisfactoria de hacer las cosas.

El contexto es importante, pero queda fuera de las pruebas sintéticas. Hay muchas preguntas importantes que no deberían ocultarse, y probablemente deberían discutirse antes de ver una prueba.

¿Por qué alguien estaba mirando esto en primer lugar?
¿Cómo encaja esto en el panorama general?
¿Cuáles son los ejemplos importantes de esto?
¿Cómo se descubrió esta prueba?

Muchas pruebas podrían darse analíticamente en lugar de sintéticamente. Podrían comenzar con el objetivo y reducir el objetivo a declaraciones más simples y eventualmente volver a declaraciones conocidas. Eso funciona bien con pruebas más simples, pero algunas son inteligentes y requieren ingenio. Las pruebas inteligentes y sorprendentes son muy divertidas.

Answer 4

Siento que esto está algo relacionado con mi experiencia de olimpiada; ¡déjame profundizar un poco más en lo que sucede en mi mente cuando resuelvo una pregunta!

A menudo, durante la primera media hora mi mente capta la pregunta e intento casos más pequeños, que me dan algún tipo de pista hacia una solución.

Después de este punto, dependiendo de la pregunta, presento una lista breve de algunos enfoques y trabajo en esos enfoques para ver si alcanzan algún fin. Y, si llego a una solución, ¡voila! La parte difícil ha terminado, ¿verdad?

Pero, aquí viene lo difícil: escribirlo. Ahora, en este punto, estoy bastante claro con mi procedimiento y solución de seguimiento; Espero que el examinador esté versado en la solución también. Entonces, lo escribo de principio a fin; demostrando afirmaciones importantes sin citar de dónde obtuve la inspiración.

Bueno, creo que algunos autores siguen el mismo patrón, lo cual es un error. Los mejores libros que he leído sobre matemáticas se centran más en la intuición / cómo pensar en la solución o abordar el problema que en la solución real.

Sin embargo, si desea comprender mejor las pruebas, le sugiero que pruebe todo lo que pueda con el problema sin buscar la solución; Intenta realmente duro. El camino será mucho más claro ahora, cuando mires la solución; porque, a menudo, los enfoques que ha adoptado se han implementado sutilmente de alguna manera.

Answer 5

Puede considerar el curso gratuito “Introducción al pensamiento matemático” del profesor de matemáticas Keith Devlin en Stanford que puede seguir en Coursera.