¿Por qué se dice que, para los sistemas de control, el número de polos debería ser mayor que el número de ceros?

Answer 1

“Un sistema g (s) es incorrecto si el orden del polinomio numerador excede el orden del polinomio denominador y, de lo contrario, es apropiado. Un sistema incorrecto no puede realizarse físicamente porque contiene diferenciadores puros “. (página 12, “Control de proceso robusto”, 1989, Morari y Zafiriou)

Una función de transferencia con un número de ceros mayor que el número de polos da lugar a diferenciadores puros, que indican que la función de transferencia representa un sistema que no es causal. Un sistema no causal no puede realizarse físicamente.

(Ejemplo: considere esta función de transferencia con 2 ceros y 1 polo:

[matemáticas] T (s) = \ frac {(s + 2) (s + 3)} {s + 1}, [/ matemáticas]

que puede reescribirse como:

[matemáticas] T (s) = 4 \ frac {s + 1.5} {s + 1} + s, [/ matemáticas]

donde podemos ver el diferenciador puro [math] s [/ math].)

En general, un diferenciador puro es una función de transferencia [matemática] G (s) [/ matemática], con entrada [matemática] U (s) [/ matemática] y salida [matemática] Y (s) [/ matemática], como sigue

[matemáticas] G (s) = \ frac {Y (s)} {U (s)} = s [/ matemáticas].

Esto significa que la salida es la derivada de la entrada:

[matemáticas] y (t) = \ dot {u} (t) [/ matemáticas].

Mirando la definición de derivada, encontramos:

[matemáticas] \ dot {u} (t) = \ lim_ {h \ a 0} \ frac {u (t + h) – u (t)} {h} [/ matemáticas].

Esto nos dice que el sistema, representado con la función de transferencia [matemática] G (s) [/ matemática], de alguna manera tiene conocimiento de los valores futuros de la entrada [matemática] u (t) [/ matemática] como sugiere el término [ matemática] u (t + h) [/ matemática], y reacciona a esos valores de entrada en el futuro ahora (en el momento [matemática] t [/ matemática]) con la salida [matemática] y (t) [/ matemática]. Esto es obviamente imposible (es decir, tal sistema sería no causal), por lo tanto, tales funciones de transferencia no pueden representar sistemas físicos.

Answer 2

La razón del principio de diseño de que el número de polos es mayor que el número de ceros es porque si esto no se siguiera en la región de alta frecuencia, el ruido se amplificaría. En el caso de sistemas de tiempo discreto, el orden del numerador no puede ser más que el denominador porque, como señaló Işık İlber Sırmatel , el sistema sería un predictor que no puede realizarse físicamente. Pero en el caso de los sistemas de tiempo continuo, el sistema es realizable.

S (S + 1) / (S + 2) tendrá ruido de alta frecuencia. También con más ceros que polos, el sistema tiende a ser lento.
De ahí el principio.
Pero este tipo de sistemas se puede realizar con diferenciadores.

Answer 3

Porque el sistema necesita libertad de movimiento para servir los valores intermedios.

Necesita poder flexionarse para acomodar el paisaje físico, no estar rígidamente encima de él.

Answer 4

Si el grado de denominador de la función de transferencia es menor que el grado de numerador, dará lugar a una respuesta en el dominio del tiempo que no será causal. y la causalidad es una propiedad importante que posee todo sistema físico.

Answer 5

El criterio de estabilidad de Nyquist es la respuesta.

Ver Criterios de estabilidad de Nyquist y Sistemas de control / Criterios de estabilidad de Nyquist.

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