Wow, pidiéndome que cubra todo el material de una clase de posgrado en una respuesta de Quora. Esto sería mucho más fácil si pudiera dibujar en la sección de respuestas. Me estoy saltando todas las matemáticas involucradas (por ejemplo, el teorema de Bloch) y solo estoy mostrando ejemplos.
Comencemos con una definición:
Un cristal fotónico es una estructura periódica en un medio óptico, cuya estructura crea propiedades de dispersión óptica inusuales.
Dicha estructura puede ser periódica en una sola dimensión, dos dimensiones o tres dimensiones.
La naturaleza periódica de la estructura hace que la relación de dispersión (relación de frecuencia a longitud de onda) sea periódica y tenga una estructura de banda. 
En k = pi / a, el patrón se repite, lo que significa que k = 2pi / a será equivalente a k = 0.
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Cristales fotónicos unidimensionales:
Muy a menudo se les conoce como rejillas o rejillas de Bragg.
El uso más común es como una estructura reflectante, ya que esta estructura periódica particular tiene un intervalo de banda (consulte la figura anterior para ver la estructura de la banda).
Así es, una rejilla de fibra Bragg es un cristal fotónico unidimensional.
Se pueden usar otros cristales fotónicos unidimensionales como acopladores: 
Las propiedades de dispersión inusuales (frecuencia versus longitud de onda) de la estructura hacen que la luz de la fibra de entrada se refracte en un ángulo extraño en la guía de onda. Se puede calcular utilizando la difracción como mecanismo (e históricamente lo ha hecho), pero es un enfoque equivalente considerarlo como un cristal fotónico, en el que el componente “directo” del vector k es equivalente por periodicidad al k directo deseado vector de la guía de ondas.
Algunos grupos están utilizando el concepto de “reflector de Bragg” para fabricar fibras ópticas de núcleo hueco para láseres de CO2 de alta potencia, como los utilizados en cirugía: 
El núcleo hueco significa que no hay dispersión en la fibra debido a efectos no lineales, y da pérdidas en general mucho menores en la transmisión de luz láser de alta potencia.
Cristales fotónicos bidimensionales
Por lo general, se realizan con un simple proceso de fabricación plana de una capa. Según tengo entendido, se estudian más que los cristales fotónicos en 3D, principalmente porque son mucho más fáciles de analizar. 
Aquí hay un ejemplo de estructura de banda para un diseño de cristal fotónico: 
ambos representan la misma estructura de banda, la de la derecha es solo una traza que va desde el centro, a k = (pi / a, 0), a k = (pi / a, pi / a) y de regreso al centro.
Las posiciones de los agujeros, el tamaño de los agujeros y todos los demás aspectos bidimensionales de la estructura son los que determinan su estructura de banda. Algunos tienen espacios de banda, otros no.
Una de las aplicaciones más típicas investigadas de los cristales fotónicos en 2-d es tener un “defecto lineal” (es decir, una sección lineal que no tiene la estructura) para usar como guía de onda: toda la luz que se encuentre en el intervalo de banda fotónica estar contenido en ese defecto de línea, ya que la estructura en sí no puede soportar ondas que se propaguen a través de ella. 
toda la luz contenida tendrá la relación de dispersión descrita por la banda del defecto 
Agregar defectos en los puntos (por ejemplo, hacer que un solo orificio sea demasiado grande o demasiado pequeño) causará bandas de defectos que son equivalentes al “dopaje” en un semiconductor. La luz a frecuencias que resuenan en esos defectos puntuales se acoplarán dentro y fuera del defecto. 
En este caso, solo puede pasar la luz que resuena en esos defectos puntuales.
Otros ejemplos de esto incluyen un par de guías de onda paralelas con defectos de punto entre ellas, que permiten que una sola longitud de onda se filtre fuera de una guía de onda y dentro de la otra, como un filtro de agregar / soltar canales para redes ópticas.
Los defectos puntuales también se pueden utilizar para el análisis de sustancias (agregar un gas o líquido cambia las propiedades del defecto puntual y, por lo tanto, cambia la salida óptica, que se puede analizar para detectar una sustancia en particular).
Pero sin utilizar espacios de banda y defectos de cristal, sus interesantes propiedades de dispersión dan lugar a otras aplicaciones muy interesantes.
Una de esas aplicaciones es el Superprism: 
Otro está usando sus propiedades inusuales para efectuar una refracción negativa, como la necesaria para crear una superlente: 
con la refracción normal, la sección dentro del cristal se doblaría hacia arriba, no hacia abajo.
No, eso no es lo mismo que un metamaterial porque surge de un mecanismo diferente.
Algunas otras ideas interesantes incluyen un supercollimator: 
Este diagrama tiene sentido para mí haberlo estudiado, pero quizás no para ti. La premisa básica es que en esta estructura de PC en particular, siempre que la luz entre dentro de un cierto rango de ángulos, todo terminará en el mismo ángulo en el cristal. No hay un haz gaussiano que se extienda dentro de un cristal fotónico supercolimador, lo que hipotéticamente podría permitir el enrutamiento de señales en línea recta sin la necesidad de una estructura de guía de ondas.
Otra aplicación más común es usar un intervalo de banda fotónica para crear una fibra óptica con un núcleo hueco, al igual que el cristal fotónico 1-d con un núcleo hueco solo con una banda más amplia y que permite aplicaciones más interesantes como el análisis de gases.
También hay cristales fotónicos tridimensionales, pero no he tenido la oportunidad de estudiar realmente qué pueden hacer. Muestran las mismas propiedades de dispersión inusuales, pero dado que la zona de Brillouin es tridimensional en lugar de bidimensional, es más difícil de analizar.
Cristales fotónicos naturales
Hay una serie de cristales fotónicos naturales. Dan lugar a propiedades interesantes como iridiscencia y opalescencia: 
Espero que esto sea suficiente para ayudarlo a comprender por qué nos molestamos en estudiar los cristales fotónicos (pista: no es solo porque son bonitos) y le da suficiente curiosidad sobre cómo diseñar y usar cristales fotónicos.