Hay muchas maneras.
Veamos un ejemplo intuitivo y obvio. ¿De dónde viene el pi? El área de un círculo, por supuesto (o circunferencia, si lo desea). Entonces, el área de un círculo de radio 1 es pi. Esto nos da una posible forma de calcularlo. Encuentra el área de un círculo de radio 1. Algo fácil. La ecuación para un (semi) círculo es
[matemática] f (x) = \ sqrt {1-x ^ 2} [/ matemática] para [matemática] | x | \ le 1 [/ matemática].
El cálculo básico nos dice que el área debajo de esa ventosa está dada por
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[matemáticas] \ int _ {- 1} ^ 1 \ sqrt {1-x ^ 2} \, \ mathrm {d} x, [/ math]
que sabemos debe ser la mitad de pi. Así que hemos reducido el cálculo de pi a la computación de una integral.
Los métodos para calcular pi pueden hacerse desde casi cualquier área de las matemáticas. ¿Teoría de probabilidad? Puedes calcular la probabilidad de que dos números sean relativamente primos. Obtendrá una probabilidad de [matemáticas] \ pi ^ 2/6 [/ matemáticas]. La aguja de Buffon es otro ejemplo.
También puede hacer fórmulas pi a partir de las que ya conoce. Tome una expansión en serie para pi y quizás intente aplicarle la aceleración de convergencia. A veces puede aumentar su tasa de convergencia en 1 o 2 bits por término. Otra forma es tomar identidades que conoces para pi, como 4 * arctan (1), y manipularlas usando identidades. Simplemente, eso puede transformarse en 16 * arctan (1/5) – 4 * arctan (1/239), que es MUCHO más eficiente de calcular cuando se usan expansiones ingenuas de arctan.
Algunos de los algoritmos más profundos y eficientes para computar pi surgen del trabajo duro en la teoría analítica de números. De ahí provienen las fórmulas de Ramanujan, Brent / Salamin, Bailey / Bailey / Borwein y Chudnovsky. Las identidades de funciones theta, formas modulares, funciones elípticas y algo de ingenio producen algunas de las fórmulas extraordinarias hechas.