¿Qué aprenden en la escuela los estudiantes universitarios que se especializan en matemáticas?

Poniendo una carne en los huesos de la respuesta de Manik Uppal:

Casi todas las especialidades en matemáticas toman:

  • cálculo multivariable
  • Introducción de ecuaciones diferenciales (a veces enseñadas en una secuencia de cálculo, a veces dada su propia clase)
  • álgebra lineal: material con matrices, con un enfoque en el cálculo y la resolución de problemas.
  • lógica introductoria / teoría de conjuntos: a menudo tiene un nombre genérico, como “introducción a las pruebas” o “transición a las matemáticas avanzadas”. Aprendes cosas como conjuntos infinitos, técnicas de prueba (como, para demostrar que un conjunto X es igual a un conjunto Y, demostrar que X es un subconjunto de Y, entonces Y es un subconjunto de X), y muchas cosas misceláneas. A veces aprendes algo de combinatoria, prueba por inducción, etc.
  • Un poco de probabilidad / estadística
  • Análisis real: este es típicamente un curso de un año. Hablando en términos generales, se trata de cálculos nuevamente, pero con mucho más rigor matemático. Uno de los primeros temas en los que te enfocas es en cosas como la continuidad y la convergencia de secuencias y series. Eventualmente hablas de diferenciación e integración. Puede parecer inútil (ver que ya tuvo aproximadamente tres semestres de cálculo), pero en realidad es muy importante y no redunda en absoluto con el cálculo. También tienes la oportunidad de cortarte los dientes con pruebas reales.
  • Álgebra abstracta: esta es una clase en la que haces álgebra, pero no con números. Por ejemplo, considere una forma como un octágono. Esa forma tiene mucha simetría: puede rotarla de muchas maneras, y puede voltearla de muchas maneras. Y puedes combinarlos … por ejemplo, una rotación seguida de un giro. Resulta que esos “movimientos” tienen una aritmética propia. Por ejemplo, rotar ocho veces es lo mismo que no hacer nada; ninguna cantidad de rotación es igual a un giro, etc. Así que puedes estudiar todos estos movimientos colectivamente como una cierta “estructura matemática” llamada grupo. Incluso puede estudiar grupos de manera abstracta, sin referencia a ninguna colección específica de movimientos. Ese es típicamente el primer tema. (Mucho más tarde, se vuelve un poco menos abstracto: demuestra cosas como que no hay una fórmula general para un polinomio de quinto grado, cómo no puede triseccionar un ángulo con una regla y una brújula, y un montón de otras cosas)
  • Topología: esto se parece mucho al análisis real, al menos al principio. Estudias cosas como la continuidad y la convergencia, pero de una manera mucho más general que lo que haces en un análisis real. (En el análisis real, le preocupan estos fenómenos en la línea real. En la topología, maneja “espacios topológicos” más arbitrarios.) Más adelante, también hay conexiones con la geometría, pero no necesariamente ve esas conexiones en su primer curso de topología.

Más allá de eso, hay asignaturas optativas. Algunas electivas populares incluyen:

  • Análisis complejo Como el análisis real, excepto con variables que pueden tomar valores complejos. Es similar, pero lo suficientemente diferente como para garantizar su propio curso.
  • Análisis numérico. Se trata de algoritmos para resolver cosas por computadora, a menudo con un enfoque en la aproximación. Cuando haces problemas de tarea en, por ejemplo, ecuaciones diferenciales, a menudo puedes escribir la solución en una forma muy agradable. Pero a menudo esas ecuaciones se eligen específicamente para que exista una buena solución. En la vida real, la mayoría de las veces no puedes simplemente escribir una solución. El análisis numérico se trata de técnicas que puede resolver una ecuación sin realmente resolverla exactamente. Este es un curso indispensable para matemáticos aplicados.
  • Ecuaciones diferenciales avanzadas / ecuaciones diferenciales parciales. Hay muchos temas en los que puede entrar. Por ejemplo, hay muchas cosas interesantes que puede hacer con sistemas de ecuaciones diferenciales. Puedes hacer ecuaciones diferenciales parciales. Puede ser más teórico y centrarse en las pruebas, la teoría del caos y cosas por el estilo. Puede ser un poco más aplicado y superponerse mucho con el análisis numérico o el modelado matemático. Depende del profesor.
  • Álgebra lineal avanzada. Más de un enfoque en las pruebas. También arrojaré un concepto intrigante: álgebra lineal de dimensiones infinitas. Juego infantil en álgebra lineal avanzada.
  • Geometría de lujo. (Geometría algebraica, geometría diferencial). Es … elegante!
  • Teoría de los números. Esto se trata de números primos. ¿Cuántos hay? ¿Cómo se distribuyen entre los enteros? La teoría de números a menudo se caracteriza por tener problemas que son muy fáciles de enunciar pero muy difíciles de resolver. (Por ejemplo, ¿siempre hay un número primo entre n y 2n? Si tomas la teoría de los números, probablemente puedas resolverlo. ¿Se puede escribir cualquier número par como la suma de dos números primos? Nadie lo sabe actualmente, y no por falta de intentos)
  • Lógica. También conocido como magia negra. Puede aprender cosas como los teoremas de incompletitud de Godel: como (a) cualquier sistema axiomático lo suficientemente fuerte como para construir los enteros tendrá automáticamente afirmaciones verdaderas, pero no demostrables; o (b) cualquier sistema axiomático que pueda probar su propia consistencia lógica es necesariamente inconsistente.

¡También hay muchas otras cosas!

Su pregunta es un poco ambigua, por lo que responderé lo que creo que es una buena preparación en la escuela secundaria y clases comunes tomadas en la universidad por estudiantes de matemáticas.

Para los estudiantes de secundaria, los cursos en álgebra, geometría, trigonometría y pre-cálculo son una preparación necesaria para las matemáticas en la universidad. Obviamente, si el cálculo está disponible en la escuela secundaria, tómalo.

En la universidad, los cursos básicos a menudo implican cálculo único y multivariable, álgebra lineal, álgebra abstracta y análisis real. En muchas escuelas, puede tomar cursos electivos en ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, teoría de números, análisis complejo, topología y geometría diferencial.

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