El mejor argumento inductivo falso que conozco es el siguiente:
Arreglar un conjunto [matemática] T [/ matemática]. El enunciado [math] A (n) [/ math] es que dado un conjunto [math] S [/ math] de tamaño [math] n [/ math] y una función [math] f: S \ to T [/ matemática], la función [matemática] f [/ matemática] es constante (toma el mismo valor en cada entrada). Aquí está la prueba:
Primero tenga en cuenta que [math] A (1) [/ math] es verdadero, porque cada función desde un conjunto de singleton a [math] T [/ math] solo toma un valor.
Supongamos que es cierto para [math] n [/ math]. Sea [math] S [/ math] un conjunto de tamaño [math] n + 1 [/ math], y sea [math] f: S \ to T [/ math] una función. Necesitamos demostrar que [math] f [/ math] es constante. Elija dos elementos [matemática] s [/ matemática] y [matemática] s ‘[/ matemática] de [matemática] S [/ matemática]. Entonces [math] S \ setminus \ {s \} [/ math] y [math] S \ setminus \ {s ‘\} [/ math] son conjuntos de tamaño [math] n [/ math], entonces la restricción de [math] f [/ math] para cualquiera de estos conjuntos es una constante, es decir, hay algo de [math] t [/ math] tal que para todos [math] x \ en S \ setminus \ {s \} [/ math], [math] f (x) = t [/ math] y algunos [math] t ‘[/ math] tal que para todos [math] x \ en S \ setminus \ {s’ \} [/ matemática], [matemática] f (x) = t ‘[/ matemática]. Sin embargo, hay algún elemento [math] x [/ math] que está en [math] S \ setminus \ {s \} [/ math] y en [math] S \ setminus \ {s ‘\} [/ math ] entonces tenemos [math] t = f (x) = t ‘[/ math] entonces [math] f [/ math] es de hecho constante en todos [math] S [/ math].
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Por supuesto, este argumento se rompe cuando [matemáticas] n = 2 [/ matemáticas]: en este caso, [matemáticas] S = \ {s, s ‘\} [/ matemáticas] y así [matemáticas] S \ setminus \ { s \} = \ {s ‘\} [/ math] y [math] S \ setminus \ {s’ \} = \ {s \} [/ math]. Estos no tienen superposición, y una función en [math] S [/ math] puede asignar perfectamente diferentes valores a [math] s [/ math] y [math] s ‘[/ math] a pesar de ser constante en cada singleton subconjuntos. Para [math] n \ neq 2 [/ math], tenemos [math] A (n) \ implica A (n + 1) [/ math], y para [math] n \ neq 1 [/ math], [ matemáticas] A (n) [/ matemáticas] es falso.