A2A. No me gusta asumir límites en las habilidades de los estudiantes de secundaria, porque al menos a veces son bastante capaces. Un estudiante de secundaria que conocí estaba usando aproximaciones de Pade para hacer teoría de números. Sospecho que habría podido introducirse directamente en los tipos de resultados que obtiene haciendo una búsqueda en la web para “calcular la función zeta de Riemann”. Nada de esto es inherentemente demasiado difícil, aunque parte de esto podría ser tedioso si uno no está acostumbrado a leer las matemáticas en profundidad.
Cuando era estudiante de posgrado, también vi una carta de un estudiante de secundaria que había desarrollado su propio método para calcular la función zeta. Estábamos un poco impresionados de que hubiera calculado algunos de los ceros de la función zeta de esa manera, aunque no había demostrado que su método necesariamente funcionara. (Él usó una computadora; no sé nada de esto que sea apropiado para calcular a mano).
¿Cuáles son algunos de los métodos más fáciles? El método más directo para evaluar cualquier serie es evaluar algunos de los términos de la serie. Cuando la serie converge, en principio siempre es posible sumar suficientes términos para garantizar que la suma parcial esté cerca de la suma de la serie infinita.
Si desea calcular la función zeta de Riemann, parece probable que esté pensando en calcular [matemática] \ zeta (s) [/ matemática] para [matemática] s = \ sigma + i \ tau [/ matemática] donde [ math] \ sigma 1 [/ matemáticas]. Lo que se necesita para comprender dependerá de cuán completa sea la comprensión conceptual que desee tener.
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Quizás la forma más simple de verlo es que hay otras fórmulas para [math] \ zeta [/ math] que convergen para obtener más valores posibles de [math] s [/ math]. Wikipedia menciona probablemente una de las fórmulas menos difíciles de entender aquí: la función zeta de Riemann – Wikipedia. La primera fórmula dada converge para [math] \ sigma> 0 [/ math] que extiende el dominio una distancia de 1 (en la región conocida como la “franja crítica”). La segunda fórmula luego ilustra cómo es posible extender esa fórmula una distancia de 1 nuevamente. Permítanme dar una derivación de la primera fórmula; el segundo es similar aunque más desordenado.
Podemos derivar la primera fórmula tomando la serie original para [math] \ zeta [/ math] y multiplicándola y dividiéndola por [math] s-1 [/ math]. Eso puede reescribirse como
[matemáticas] (1 / (s-1)) \ sum_ {n> = 1} [-1 / n ^ s + s / n ^ s] = (1 / (s-1)) [\ sum_ {n> = 1} (- 1 / n ^ s) + \ sum_ {n> = 1} (s / n ^ s)] [/ math].
(Aquí hay un tecnicismo para usted: ¿por qué está bien para mí dividir la serie infinita en dos series infinitas? Es porque asumo tácitamente que [math] s [/ math] está en la región donde convergen ambas series) absolutamente.) Ahora sumamos y restamos un término para obtener
[matemáticas] (1 / (s-1)) [\ sum_ {n> = 1} 1 / n ^ (s-1) – \ sum_ {n> = 1} (- 1 / n ^ s) – \ sum {n> = 1} 1 / n ^ (s-1) + \ sum {n> = 1} (s / n ^ s)] [/ math].
Los términos [matemática] n = 1 [/ matemática] en las dos primeras sumas son ambos iguales a 1, porque 1 elevado a cualquier potencia sigue siendo solo 1. Así que podemos cancelarlos:
[matemáticas] (1 / (s-1)) [\ sum_ {n> = 2} 1 / n ^ (s-1) – \ sum_ {n> = 2} (- 1 / n ^ s) – \ sum_ {n> = 1} 1 / n ^ (s-1) + \ sum_ {n> = 1} (s / n ^ s)] [/ math].
Aquí hacemos una manipulación un poco más complicada; sustituimos [math] n + 1 [/ math] por n en cada una de las dos primeras series, de modo que los términos permanezcan iguales, pero son para un valor diferente de [math] n [/ math]:
[matemáticas] (1 / (s-1)) [\ sum_ {n> = 1} 1 / (n + 1) ^ (s-1) – \ sum_ {n> = 2} (- 1 / (n + 1) ^ s) – \ sum_ {n> = 1} 1 / n ^ (s-1) + \ sum_ {n> = 1} (s / n ^ s)] [/ math].
En el término [math] 1 / n ^ (s-1) [/ math] queremos multiplicar el numerador y el denominador por [math] n [/ math] para obtener [math] n / n ^ s [/ math ], y en el término [matemática] 1 / (n + 1) ^ (s-1) [/ matemática] queremos multiplicar el numerador y el denominador por un factor de [matemática] n + 1 [/ matemática] para obtener [matemáticas] (n + 1) / (n + 1) ^ (s-1) [/ matemáticas]:
[matemáticas] (1 / (s-1)) [\ sum_ {n> = 1} (n + 1) / (n + 1) ^ s- \ sum_ {n> = 2} (- 1 / (n + 1) ^ s) – \ sum_ {n> = 1} n / n ^ s + \ sum_ {n> = 1} (s / n ^ s) [/ math].
Ahora podemos usar nuevamente la suposición de que todos estos términos son una serie convergente para combinar términos.
[matemáticas] (1 / (s-1)) [\ sum {n> = 1} n / (n + 1) ^ s + \ sum_ {n> = 1} (ns) / n ^ s [/ matemáticas].
Esa es la fórmula dada en Wikipedia. La siguiente fórmula se produce dividiendo nuevamente los términos, cambiando el valor de n en algunos de ellos y recombinándolos.
Sin embargo, si desea una comprensión completa, en algún momento necesita una respuesta a la pregunta, ¿por qué está bien que usemos una fórmula diferente para zeta cuando la fórmula original no converge? Y la pregunta aún más básica es, ¿cómo se define zeta allí?
Si busca una definición de la función zeta, probablemente verá la frase “continuación analítica” utilizada. La “continuación analítica” es una forma de extender el dominio de una función. En nuestro caso, estamos tomando la serie infinita que define [matemática] zeta (s) [/ matemática] para [matemática] s = \ sigma + i \ tau [/ matemática] cuando [matemática] \ sigma> 1 [/ matemática ] y extender el dominio a todos [math] s [/ math] excepto [math] s = 1 [/ math]. Estos dominios son regiones, lo que tiene un significado técnico aquí; cada punto dentro de la región está a una distancia positiva del límite de la región. Para el dominio original de convergencia, un valor [math] s = \ sigma + i \ tau [/ math] donde [math] \ sigma> 1 [/ math] es una distancia [math] \ sigma-1 [/ math] desde el límite, así que está bien. El único punto límite de la región extendida es [math] s = 1 [/ math], por lo que tampoco hay problema. Para una región, ser analítico es equivalente a tener una derivada compleja, el límite como [math] h [/ math] va a 0 de [math] (zeta (s + h) -zeta (s)) / h [/ math ] Estamos permitiendo que [math] h [/ math] tenga valores complejos.
Tener una derivada compleja resulta ser mucho más una restricción en una función que tener una derivada para una función real. Si tengo una función real en [0,1] con una derivada, puedo extenderla de diferentes maneras más allá de los extremos del dominio original, incluso si tengo que hacer que la función extendida todavía tenga una derivada. Lo notable de las funciones analíticas es que muchas veces solo hay una forma de extender la función a un dominio más grande y mantenerla aún analítica. Si tenemos dos funciones analíticas en una región conectada en el plano complejo, y están de acuerdo en un segmento de línea dentro de la región, entonces están de acuerdo en toda la región. (De hecho, si están de acuerdo en una secuencia de puntos en la región que tienen un límite en la región, están de acuerdo en todas partes de la región).
Lo que hace que la continuación analítica no sea tan trivial es que a veces es posible tener dos continuaciones analíticas en diferentes regiones, que no están de acuerdo en algún lugar además del dominio original de la función. Un ejemplo simple de esto es la forma en que se extiende la función de raíz cuadrada; las continuaciones pueden tener el signo opuesto si se continuaran en lados opuestos de 0.
No quiero enredarme demasiado en este punto en tecnicismos que pueden no ser de su interés. Pero eventualmente hay una serie de hechos para demostrar que no estoy probando aquí. Es probable que vea muchas de estas cosas cuando realice un análisis complejo. Mi derivación anterior muestra que la fórmula en Wikipedia es igual a la serie original para zeta, donde todas las series convergen absolutamente. Mostrar que la serie converge absolutamente cuando la parte real de s es lo suficientemente grande no es muy difícil; la magnitud de los términos puede estar limitada por un tiempo constante [matemática] 1 / n ^ a [/ matemática] para un valor real de [matemática] a> 1 [/ matemática], pero omití esa parte. Luego, para aplicar el teorema sobre la continuación analítica que mencioné, necesitamos mostrar que la nueva serie converge a una función analítica donde converge. Para esto, probablemente lo más conveniente es aplicar el resultado mencionado aquí, convergencia uniforme – Wikipedia, que si una serie de funciones analíticas converge uniformemente en una región, entonces converge a una función analítica. Esas series no convergen uniformemente en todo el dominio donde convergen, sino que convergen uniformemente en partes del dominio que lo cubren todo. También vale la pena confirmar que zeta no tiene el problema que tiene la función de raíz cuadrada: que puede continuarse en todo el plano complejo excepto [math] s = 1 [/ math] (donde va al infinito) .