¿Qué tan grandes son las fuerzas [matemáticas] f_ {S1} [/ matemáticas] y [matemáticas] f_ {S2} [/ matemáticas] en los cables [matemáticas] 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] 2 [/ matemáticas] y el fuerza [matemática] f_M [/ matemática] en el mástil cuando la fuerza de tracción [matemática] f_ {S3} [/ matemática] se aplica al cable [matemática] 3 [/ matemática]?

Answer 1

Dibuje un diagrama de cuerpo libre del punto C que muestre todas las fuerzas que actúan en el punto C:

(Tenga en cuenta que muestro la fuerza en el mástil apuntando hacia el punto C ya que el mástil está en compresión). También he definido mis ejes de coordenadas (mostrados en azul)

Este sistema de fuerzas está en equilibrio estático, por lo que las fuerzas deben equilibrarse en cada dirección de coordenadas. Use los ángulos dados para determinar el componente de cada vector en la dirección x, y o z:

[matemáticas] \ Sigma F_x = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] -f_ {S1} (cos \ alpha cos \ beta) -f_ {S2} (cos \ alpha cos \ beta) + f_ {S3} (cos \ gamma) = 0 [/ matemáticas]

Por simetría, [matemática] f_ {S1} [/ matemática] = [matemática] f_ {S2} [/ matemática] ya que cada uno tiene los mismos ángulos de dirección [matemática] \ alpha [/ matemática] y [matemática] \ beta [ /matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto [/ matemáticas] [matemáticas] -f_ {S1} (cos \ alpha cos \ beta) -f_ {S1} (cos \ alpha cos \ beta) + f_ {S3} (cos \ gamma) = 0 [/matemáticas]

o

[matemáticas] -2f_ {S1} (cos \ alpha cos \ beta) = f_ {S3} (cos \ gamma) [/ matemáticas]

o

[matemáticas] f_ {S1} = f_ {S3} \ frac {cos \ gamma} {2 (cos \ alpha) (cos \ beta)} [/ math]

Las fuerzas en la dirección z también deben equilibrar:

[matemáticas] \ Sigma F_z = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] F_M-f_ {S1} (cos \ alpha sin \ beta) -f_ {S2} (cos \ alpha sin \ beta) -f_ {S3} (sin \ gamma) = 0 [/ matemáticas]

o

[matemáticas] F_M-2f_ {S1} (cos \ alpha sin \ beta) -f_ {S3} (sin \ gamma) = 0 [/ matemáticas]

pero (desde arriba): [matemáticas] f_ {S1} = f_ {S3} \ frac {cos \ gamma} {2 (cos \ alpha) (cos \ beta)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto [/ matemáticas] [matemáticas] F_M-2f_ {S3} \ frac {cos \ gamma} {2 (cos \ alpha) (cos \ beta)} (cos \ alpha sin \ beta) -f_ {S3 } (sin \ gamma) = 0 [/ matemáticas]

o

[matemáticas] F_M = 2f_ {S3} \ frac {cos \ gamma} {2cos \ alpha cos \ beta} (cos \ alpha sin \ beta) + f_ {S3} sin \ gamma [/ math]

o

[matemáticas] F_M = f_ {S3} \ frac {cos \ gamma} {cos \ beta} (sin \ beta) + f_ {S3} sin \ gamma [/ math]

[matemática] = f_ {S3} (\ frac {cos \ gamma sin \ beta} {cos \ beta} + sin \ gamma) [/ math]

[matemáticas] = f_ {S3} (\ frac {cos \ gamma sin \ beta + sin \ gamma cos \ beta} {cos \ beta}) [/ matemáticas]

o

[matemática] F_M = f_ {S3} (\ frac {sin (\ beta + \ gamma)} {cos \ beta}) [/ matemática] se muestra en compresión.

Si supuse que [matemática] F_M [/ matemática] estaba en tensión y dibujaba [matemática] F_M [/ matemática] actuando lejos del punto C, entonces mi respuesta final sería negativa (como la suya) indicando que el mástil está realmente en compresión.

Answer 2

Cada una de las cuatro fuerzas puede ser representada por un vector tridimensional. La clave para resolver el problema es darse cuenta de que los componentes x e y de las fuerzas de f1, f2 y f3 tienen que equilibrarse. Tenga en cuenta que, dado que no se le dan fuerzas reales, solo puede obtener las relaciones entre ellas.