Las matemáticas son parte de la física. La física es una ciencia experimental, una parte de la ciencia natural. Las matemáticas son la parte de la física donde los experimentos son baratos.
La identidad de Jacobi (que obliga a las alturas de un triángulo a cruzarse en un punto) es un hecho experimental de la misma manera que la Tierra es redonda (es decir, homeomórfica a una pelota). Pero se puede descubrir con menos gastos.
A mediados del siglo XX se intentó dividir la física y las matemáticas. Las consecuencias resultaron ser catastróficas. Generaciones enteras de matemáticos crecieron sin conocer la mitad de su ciencia y, por supuesto, en total ignorancia de cualquier otra ciencia. Primero comenzaron a enseñar sus pseudomatemáticas escolares feas a sus estudiantes, luego a los escolares (olvidando la advertencia de Hardy de que las matemáticas feas no tienen un lugar permanente bajo el sol).
Dado que las matemáticas escolares que están separadas de la física no son aptas ni para la enseñanza ni para la aplicación en ninguna otra ciencia, el resultado fue el odio universal hacia los matemáticos, tanto por parte de los escolares pobres (algunos de los cuales, mientras tanto, se convirtieron en ministros) y de los usuarios
El feo edificio, construido por matemáticos poco educados que estaban exhaustos por su complejo de inferioridad y que no pudieron familiarizarse con la física, recuerda a una rigurosa teoría axiomática de los números impares. Obviamente, es posible crear tal teoría y hacer que los alumnos admiren la perfección y la consistencia interna de la estructura resultante (en la cual, por ejemplo, se define la suma de un número impar de términos y el producto de cualquier número de factores). Desde este punto de vista sectario, incluso los números podrían declararse herejía o, con el paso del tiempo, introducirse en la teoría complementada con algunos objetos “ideales” (para cumplir con las necesidades de la física y el mundo real) .
Desafortunadamente, fue una construcción fea y retorcida de las matemáticas como la anterior que predominó en la enseñanza de las matemáticas durante décadas. Al haberse originado en Francia, esta perversidad se extendió rápidamente a la enseñanza de los fundamentos de las matemáticas, primero a los estudiantes universitarios, luego a los alumnos de todas las líneas (primero en Francia, luego en otros países, incluida Rusia).
A la pregunta “¿qué es 2 + 3”, un alumno francés de primaria respondió: “3 + 2, ya que la suma es conmutativa”. ¡No sabía a qué equivale la suma y ni siquiera podía entender por qué se le preguntó!
Otro alumno francés (bastante racional, en mi opinión) definió las matemáticas de la siguiente manera: “hay un cuadrado, pero eso todavía tiene que ser probado”.
A juzgar por mi experiencia docente en Francia, la idea de las matemáticas de los estudiantes universitarios (incluso de los que enseñaron matemáticas en la École Normale Supérieure, lo siento sobre todo por estos niños obviamente inteligentes pero deformados) es tan pobre como la de este alumno.
Por ejemplo, estos estudiantes nunca han visto un paraboloide y una pregunta sobre la forma de la superficie dada por la ecuación xy = z2 pone a los matemáticos que estudian en ENS en un estado de estupor. Dibujar una curva dada por ecuaciones paramétricas (como x = t3 – 3t, y = t4 – 2t2) en un plano es un problema totalmente imposible para los estudiantes (y, probablemente, incluso para la mayoría de los profesores de matemáticas franceses).
Comenzando con el primer libro de texto de l’Hospital sobre cálculo (“cálculo para la comprensión de líneas curvas”) y aproximadamente hasta el libro de texto de Goursat, se consideró que la capacidad de resolver tales problemas (junto con el conocimiento de la tabla de tiempos) era una parte necesaria del oficio de todos los matemáticos.
Los fanáticos de las “matemáticas abstractas” mentalmente desafiadas arrojaron toda la geometría (a través de la cual la conexión con la física y la realidad ocurre con mayor frecuencia en las matemáticas) fuera de la enseñanza. Los libros de texto de cálculo de Goursat, Hermite, Picard fueron recientemente abandonados por la biblioteca estudiantil de las Universidades París 6 y 7 (Jussieu) como obsoletos y, por lo tanto, dañinos (solo fueron rescatados por mi intervención).
Los estudiantes de ENS que han asistido a cursos de geometría diferencial y algebraica (leídos por matemáticos respetados) no conocían la superficie de Riemann de una curva elíptica y2 = x3 + ax + b ni, de hecho, la clasificación topológica de superficies ( ni siquiera menciona integrales elípticas de primer tipo y la propiedad de grupo de una curva elíptica, es decir, el teorema de la suma de Euler-Abel). ¡Solo les enseñaron estructuras Hodge y variedades Jacobi!
¿Cómo podría suceder esto en Francia, que le dio al mundo Lagrange y Laplace, Cauchy y Poincaré, Leray y Thom? Me parece que IG Petrovskii, quien me enseñó en 1966, me dio una explicación razonable: los matemáticos genuinos no se unen, pero los débiles necesitan pandillas para sobrevivir. Se pueden unir por varios motivos (podría ser súper abstracción, antisemitismo o “aplicado e industrial”
problemas), pero la esencia es siempre una solución del problema social: la supervivencia en condiciones de entornos más alfabetizados.
Por cierto, les recordaré una advertencia de L. Pasteur: nunca ha habido y nunca habrá “ciencias aplicadas”, solo hay aplicaciones de las ciencias (¡muy útiles!).
En aquellos tiempos estaba tratando las palabras de Petrovskii con alguna duda, pero ahora estoy cada vez más convencido de lo acertado que estaba. Una parte considerable de la actividad súper abstracta se reduce simplemente a industrializar la toma desvergonzada de descubrimientos de descubridores y luego asignarlos sistemáticamente a epigons-generalizadores. De manera similar al hecho de que Estados Unidos no lleva el nombre de Colón, los resultados matemáticos casi nunca se llaman por los nombres de sus descubridores.
Para evitar ser citado erróneamente, debo señalar que mis propios logros fueron, por alguna razón desconocida, nunca expropiados de esta manera, aunque siempre les sucedió tanto a mis maestros (Kolmogorov, Petrovskii, Pontryagin, Rokhlin) como a mis alumnos. El profesor M. Berry formuló una vez los siguientes dos principios:
El principio de Arnold. Si una noción lleva un nombre personal, entonces este nombre no es el nombre del descubridor.
El principio de la baya. El Principio de Arnold es aplicable a sí mismo.
Sin embargo, volvamos a la enseñanza de las matemáticas en Francia.
Cuando era un estudiante de primer año en la Facultad de Mecánica y Matemáticas de la Universidad Estatal de Moscú, las lecturas sobre cálculo fueron leídas por el topólogo de teoría de conjuntos LA Tumarkin, quien concienzudamente volvió a contar el antiguo curso de cálculo clásico de tipo francés en el Goursat versión. Nos dijo que las integrales de funciones racionales a lo largo de una curva algebraica se pueden tomar si la superficie de Riemann correspondiente es una esfera y, en general, no se pueden tomar si su género es más alto, y que para la esfericidad es suficiente tener una superficie suficientemente grande número de puntos dobles en la curva de un grado dado (lo que obliga a que la curva sea unicursal: es posible dibujar sus puntos reales en el plano proyectivo con un solo trazo).
Estos hechos capturan la imaginación tanto que (incluso dados sin ninguna prueba) dan una idea mejor y más correcta de las matemáticas modernas que volúmenes enteros del tratado de Bourbaki. De hecho, aquí descubrimos la existencia de una conexión maravillosa entre cosas que parecen ser completamente diferentes: por un lado, la existencia de una expresión explícita para las integrales y la topología de la superficie de Riemann correspondiente y, por otro lado , entre el número de puntos dobles y el género de la superficie de Riemann correspondiente, que también se exhibe en el dominio real como la unicursualidad.
Jacobi señaló, como la propiedad más fascinante de las matemáticas, que en ella una y la misma función controla tanto las presentaciones de un número entero como la suma de cuatro cuadrados como el movimiento real de un péndulo.
Estos descubrimientos de conexiones entre objetos matemáticos heterogéneos se pueden comparar con el descubrimiento de la conexión entre la electricidad y el magnetismo en física o con el descubrimiento de la similitud entre la costa este de América y la costa oeste de África en geología.
La importancia emocional de tales descubrimientos para la enseñanza es difícil de sobreestimar. Son ellos quienes nos enseñan a buscar y encontrar fenómenos tan maravillosos de armonía del Universo.
La des-geometrización de la educación matemática y el divorcio de la física cortan estos lazos. Por ejemplo, no solo los estudiantes sino también los modernos algebro-geómetras en general no conocen el hecho de Jacobi mencionado aquí: una integral elíptica de primer tipo expresa el tiempo de movimiento a lo largo de una curva de fase elíptica en el sistema hamiltoniano correspondiente.
Reformulando las famosas palabras sobre el electrón y el átomo, se puede decir que un hipocicloide es tan inagotable como un ideal en un anillo polinomial. Pero enseñar ideales a estudiantes que nunca han visto un hipocicloide es tan ridículo como enseñar la adición de fracciones a niños que nunca han cortado (al menos mentalmente) un pastel o una manzana en partes iguales. No es de extrañar que los niños prefieran agregar un numerador a un numerador y un denominador a un denominador.
De mis amigos franceses escuché que la tendencia hacia generalizaciones súper abstractas es su rasgo nacional tradicional. No estoy totalmente en desacuerdo con que esto podría ser una enfermedad hereditaria, pero me gustaría subrayar el hecho de que tomé prestado el ejemplo de pastel y manzana de Poincaré.
El esquema de construcción de una teoría matemática es exactamente el mismo que el de cualquier otra ciencia natural. Primero consideramos algunos objetos y hacemos algunas observaciones en casos especiales. Luego tratamos de encontrar los límites de aplicación de nuestras observaciones, buscamos contraejemplos que impidan la extensión injustificada de nuestras observaciones en una gama demasiado amplia de eventos (ejemplo: el número de particiones de números impares consecutivos 1, 3, 5, 7, 9 en un número impar de sumandos naturales da la secuencia 1, 2, 4, 8, 16, pero luego viene 29).
Como resultado, formulamos el descubrimiento empírico que hicimos (por ejemplo, la conjetura de Fermat o la conjetura de Poincaré) con la mayor claridad posible. Después de esto, viene el difícil período de verificar cuán confiables son las conclusiones.
En este punto, se ha desarrollado una técnica especial en matemáticas. Esta técnica, cuando se aplica al mundo real, a veces es útil, pero a veces también puede conducir al autoengaño. Esta técnica se llama modelado. Al construir un modelo, se realiza la siguiente idealización: ciertos hechos que solo se conocen con cierto grado de probabilidad o con cierto grado de precisión, se consideran “absolutamente” correctos y se aceptan como “axiomas”. El sentido de este “absoluto” radica precisamente en el hecho de que nos permitimos usar estos “hechos” de acuerdo con las reglas de la lógica formal, en el proceso que declara como “teoremas” todo lo que podemos derivar de ellos.
Es obvio que en cualquier actividad de la vida real es imposible confiar totalmente en tales deducciones. La razón es, al menos, que los parámetros de los fenómenos estudiados nunca se conocen con exactitud y un pequeño cambio en los parámetros (por ejemplo, las condiciones iniciales de un proceso) puede cambiar totalmente el resultado. Digamos, por esta razón, un pronóstico meteorológico confiable a largo plazo es imposible y seguirá siendo imposible, sin importar cuánto desarrollemos computadoras y dispositivos que registren las condiciones iniciales.
Exactamente de la misma manera, un pequeño cambio en los axiomas (del cual no podemos estar completamente seguros) es capaz, en general, de llevar a conclusiones completamente diferentes a las que se obtienen de los teoremas que se han deducido de los axiomas aceptados. Cuanto más larga y elegante es la cadena de deducciones (“pruebas”), menos confiable es el resultado final.
Los modelos complejos rara vez son útiles (a menos que los escriban sus disertaciones).
La técnica matemática de modelado consiste en ignorar este problema y hablar sobre su modelo deductivo de tal manera que coincida con la realidad. El hecho de que este camino, que obviamente es incorrecto desde el punto de vista de las ciencias naturales, a menudo conduce a resultados útiles en física se llama “la efectividad inconcebible de las matemáticas en las ciencias naturales” (o “el principio de Wigner”).
Aquí podemos agregar un comentario de IM Gel’fand: existe otro fenómeno que es comparable en su inconcebibilidad con la inconcebible efectividad de las matemáticas en física señalada por Wigner: esta es la ineficacia igualmente inconcebible de las matemáticas en biología.
“El veneno sutil de la educación matemática” (en palabras de F. Klein) para un físico consiste precisamente en que el modelo absolutizado se separa de la realidad y ya no se compara con él. Aquí hay un ejemplo simple: las matemáticas nos enseñan que la solución de la ecuación de Malthus dx / dt = x está definida únicamente por las condiciones iniciales (es decir, que las curvas integrales correspondientes en el plano (t, x) no se cruzan entre sí ) Esta conclusión del modelo matemático tiene poca relevancia para la realidad. Un experimento informático muestra que todas estas curvas integrales tienen puntos comunes en el semieje negativo t. De hecho, digamos, las curvas con las condiciones iniciales x (0) = 0 yx (0) = 1 prácticamente se cruzan en t = -10 y en t = -100 no puede caber en un átomo entre ellas. Las propiedades del espacio a distancias tan pequeñas no se describen en absoluto por la geometría euclidiana. La aplicación del teorema de unicidad en esta situación obviamente excede la precisión del modelo. Esto debe respetarse en la aplicación práctica del modelo; de lo contrario, uno podría encontrarse con serios problemas.
Sin embargo, me gustaría señalar que el mismo teorema de unicidad explica por qué la etapa de cierre del amarre de un barco al muelle se realiza manualmente: en la dirección, si la velocidad de aproximación se hubiera definido como una función suave (lineal) de la distancia, el proceso de amarre habría requerido un período de tiempo infinitamente largo. Una alternativa es un impacto con el muelle (que está amortiguado por cuerpos adecuados elásticos no ideales). Por cierto, este problema tuvo que enfrentarse seriamente al aterrizar los primeros aparatos descendentes en la Luna y Marte y también al atracar con estaciones espaciales: aquí el teorema de la unicidad está trabajando en nuestra contra.
Desafortunadamente, ninguno de estos ejemplos, ni discutir el peligro de fetichizar los teoremas se deben cumplir en los libros de texto matemáticos modernos, incluso en los mejores. Incluso tuve la impresión de que los matemáticos académicos (que tienen poco conocimiento de la física) creen en la diferencia principal de las matemáticas axiomáticas del modelado, que es común en las ciencias naturales y que siempre requiere el control posterior de las deducciones mediante un experimento.
Sin mencionar siquiera el carácter relativo de los axiomas iniciales, uno no puede olvidarse de la inevitabilidad de los errores lógicos en argumentos largos (por ejemplo, en forma de un colapso informático causado por rayos cósmicos u oscilaciones cuánticas). Todo matemático que trabaja sabe que si uno no se controla a sí mismo (lo mejor de todo con ejemplos), después de unas diez páginas, la mitad de todos los signos en las fórmulas estarán equivocados y dos encontrarán el camino de los denominadores a los numeradores.
La tecnología para combatir tales errores es el mismo control externo por experimentos u observaciones que en cualquier ciencia experimental y debe enseñarse desde el principio a todos los estudiantes de tercer año en las escuelas.
Los intentos de crear matemática “pura” deductiva-axiomática han llevado al rechazo del esquema utilizado en física (observación – modelo – investigación del modelo – conclusiones – prueba por observaciones) y su sustitución por el esquema: definición – teorema – prueba. Es imposible entender una definición desmotivada, pero esto no detiene a los algebraistas-axiomatizadores criminales. Por ejemplo, definirían fácilmente el producto de los números naturales mediante la regla de multiplicación larga. Con esto, la conmutatividad de la multiplicación se vuelve difícil de probar, pero aún es posible deducirla como un teorema de los axiomas. Entonces es posible obligar a los estudiantes pobres a aprender este teorema y su prueba (con el objetivo de elevar la posición tanto de la ciencia como de las personas que la enseñan). Es obvio que tales definiciones y tales pruebas solo pueden dañar la enseñanza y el trabajo práctico.
Solo es posible entender la conmutatividad de la multiplicación contando y volviendo a contar a los soldados por filas y archivos o calculando el área de un rectángulo de las dos maneras. Cualquier intento de prescindir de esta interferencia de la física y la realidad en las matemáticas es el sectarismo y el aislacionismo que destruyen la imagen de las matemáticas como una actividad humana útil a los ojos de todas las personas sensatas.
Abriré algunos secretos más (en interés de los estudiantes pobres).
El determinante de una matriz es un volumen (orientado) del paralelepípedo cuyos bordes son sus columnas. Si se les dice a los estudiantes este secreto (que está cuidadosamente oculto en la educación algebraica purificada), entonces toda la teoría de los determinantes se convierte en un capítulo claro de la teoría de las formas polilineales. Si los determinantes se definen de otra manera, cualquier persona sensata odiará para siempre todos los determinantes, los jacobianos y el teorema de la función implícita.
¿Qué es un grupo ? Los algebraistas enseñan que este es supuestamente un conjunto con dos operaciones que satisfacen una carga de axiomas fácilmente olvidables. Esta definición provoca una protesta natural: ¿por qué una persona sensata necesitaría tales pares de operaciones? “Oh, maldita sea esta matemática” – concluye el estudiante (quien, posiblemente, se convierta en Ministro de Ciencia en el futuro).
Obtenemos una situación totalmente diferente si comenzamos no con el grupo sino con el concepto de una transformación (un mapeo uno a uno de un conjunto sobre sí mismo) como lo fue históricamente. Una colección de transformaciones de un conjunto se denomina grupo si junto con cualquiera de las dos transformaciones contiene el resultado de su aplicación consecutiva y una transformación inversa junto con cada transformación.
Esta es toda la definición que hay. Los llamados “axiomas” son, de hecho, propiedades (obvias) de grupos de transformaciones. Lo que los axiomatisadores llaman “grupos abstractos” son solo grupos de transformaciones de varios conjuntos considerados hasta isomorfismos (que son mapeos uno a uno que preservan las operaciones). Como demostró Cayley, no hay grupos “más abstractos” en el mundo. Entonces, ¿por qué los algebraistas siguen atormentando a los estudiantes con la definición abstracta?
Por cierto, en la década de 1960 enseñé teoría de grupos a escolares de Moscú. Evitando toda la axiomática y manteniéndome lo más cerca posible de la física, en medio año llegué al teorema de Abel sobre la insolubilidad de una ecuación general de grado cinco en radicales (habiendo enseñado a los alumnos números complejos, superficies de Riemann, fundamentales grupos y grupos monodromía de funciones algebraicas). Este curso fue publicado más tarde por uno de los asistentes, V. Alekseev, como el libro El teorema de Abel en problemas .
¿Qué es un colector liso ? En un libro estadounidense reciente, leí que Poincaré no conocía esta noción (introducida por él mismo) y que la definición “moderna” solo fue dada por Veblen a fines de la década de 1920: un múltiple es un espacio topológico que satisface una larga serie de axiomas. .
¿Por qué pecados deben los estudiantes tratar de encontrar su camino a través de todos estos giros y vueltas? En realidad, en el Analysis Situs de Poincaré hay una definición absolutamente clara de una variedad suave que es mucho más útil que la “abstracta”.
Un submanifold liso k-dimensional del espacio euclidiano R ^ N es su subconjunto que en una vecindad de cada punto es un gráfico de un mapeo suave de R ^ k en R ^ (N-k) (donde R ^ k y R ^ (N – k) son subespacios de coordenadas). Esta es una generalización directa de las curvas suaves más comunes en el plano (por ejemplo, del círculo x2 + y2 = 1) o curvas y superficies en el espacio tridimensional.
Entre múltiples suaves, los mapeos suaves se definen naturalmente. Los difeomorfismos son asignaciones que son suaves, junto con sus inversas.
Una variedad lisa “abstracta” es un submanifold liso de un espacio euclidiano considerado hasta un difeomorfismo. No existen variedades lisas de dimensiones finitas “más abstractas” en el mundo (teorema de Whitney). ¿Por qué seguimos atormentando a los estudiantes con la definición abstracta? ¿No sería mejor demostrarles el teorema sobre la clasificación explícita de múltiples (superficies) bidimensionales cerradas?
Es este maravilloso teorema (que establece, por ejemplo, que cualquier superficie orientada conectada compacta es una esfera con una serie de asas) que da una impresión correcta de lo que es la matemática moderna y no las generalizaciones súper abstractas de los submanifolds ingenuos de un Euclidiano. espacio que de hecho no da nada nuevo y se presentan como logros por los axiomatistadores.
El teorema de clasificación de superficies es un logro matemático de primera clase, comparable con el descubrimiento de América o los rayos X. Este es un verdadero descubrimiento de la ciencia matemática natural e incluso es difícil decir si el hecho en sí mismo es más atribuible a la física oa las matemáticas. En su importancia tanto para las aplicaciones como para el desarrollo de Weltanschauung correcto, supera con creces tales “logros” de las matemáticas como la prueba del último teorema de Fermat o la prueba del hecho de que cualquier número entero suficientemente grande puede representarse como una suma de tres números primos.
En aras de la publicidad, los matemáticos modernos a veces presentan logros deportivos como la última palabra en su ciencia. Es comprensible que esto no solo no contribuya a la apreciación de las matemáticas por parte de la sociedad, sino que, por el contrario, cause una desconfianza saludable de la necesidad de desperdiciar energía en ejercicios (tipo escalada en roca) con estas exóticas preguntas que nadie necesita y desea.
El teorema de clasificación de superficies debería haberse incluido en los cursos de matemática de la escuela secundaria (probablemente, sin la prueba), pero por alguna razón no se incluye ni siquiera en los cursos universitarios de matemática (de los cuales en Francia, por cierto, toda la geometría ha sido desterrada en las últimas décadas).
El regreso de la enseñanza matemática en todos los niveles, desde la charla escolástica hasta la presentación del importante dominio de las ciencias naturales, es un problema especialmente importante para Francia. Me sorprendió que todos los mejores y más importantes libros de matemática de enfoque metódico sean casi desconocidos para los estudiantes aquí (y, me parece, no han sido traducidos al francés). Entre estos se encuentran Números y figuras de Rademacher y Töplitz, Geometría y la imaginación de Hilbert y Cohn-Vossen, ¿Qué son las matemáticas? por Courant y Robbins, Cómo resolverlo y Matemáticas y razonamiento plausible por Polya, Desarrollo de las matemáticas en el siglo XIX por F. Klein.
Recuerdo bien qué impresión tan fuerte me hizo el curso de cálculo de Hermite (¡que existe en una traducción al ruso!) En mis años escolares.
Las superficies de Riemann aparecieron en él, creo, en una de las primeras conferencias (todo el análisis fue, por supuesto, complejo, como debería ser). Las asintóticas de las integrales se investigaron mediante deformaciones de trayectoria en las superficies de Riemann bajo el movimiento de puntos de ramificación (hoy en día, lo habríamos llamado la teoría de Picard-Lefschetz; Picard, por cierto, era el yerno de Hermite; las habilidades matemáticas son a menudo transferido por yernos: la dinastía Hadamard – P. Levy – L. Schwarz – U. Frisch es otro ejemplo famoso en la Academia de Ciencias de París).
El curso “obsoleto” de Hermite de hace cien años (probablemente, ahora descartado de las bibliotecas de estudiantes de las universidades francesas) era mucho más moderno que los libros de texto de cálculo más aburridos con los que los estudiantes están atormentados hoy en día.
Si los matemáticos no vuelven a sus sentidos, entonces los consumidores que preservaron la necesidad de una teoría moderna, en el mejor sentido de la palabra, la teoría matemática, así como la inmunidad (característica de cualquier persona sensible) a la charla axiomática inútil lo harán en el fin rechazar los servicios de los escolásticos no educados tanto en las escuelas como en las universidades.
Un profesor de matemáticas, que no se ha familiarizado con al menos algunos de los volúmenes del curso de Landau y Lifshitz, se convertirá en un relicto como el que hoy en día no conoce la diferencia entre un conjunto abierto y uno cerrado.
{Este es un texto extendido del discurso en la discusión sobre la enseñanza de las matemáticas en el Palais de Découverte en París el 7 de marzo de 1997.}
