Cómo examinar si la función [matemáticas] u [/ matemáticas] es armónica y calcular una función holomórfica [matemáticas] f = u + iv [/ matemáticas]

No sé mucho sobre funciones holomórficas, pero sé un poco sobre funciones armónicas. Usted da [matemática] u (x, y) = e ^ x \ sin (y) [/ matemática]

Calcule las segundas derivadas:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial x ^ 2} (x, y) = e ^ x \ sin (y) \\ \ displaystyle \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ parcial y ^ 2} (x, y) = – e ^ x \ sin (y) [/ math]

que produce la [matemática] \ displaystyle \ Delta u = \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial x ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial y ^ 2} = 0 [/ parcial matemáticas].

U es por lo tanto armónico.

Nota: este es mi primer intento de jugar con funciones holomorfas. Si me equivoco en alguna parte, por favor dime.

Si f es holomorfo, debe obedecer las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Esto nos da dos ecuaciones en v. Resuelva una primero.

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ partial u} {\ partial x} = \ frac {\ partial v} {\ partial y} [/ math]

es decir.

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ partial v} {\ partial y} (x, y) = e ^ x \ sin (y) [/ math]

Integre esto con respecto a y, comenzando desde y = 0:

[matemáticas] v (x, y) -v (x, 0) = e ^ x (1- \ cos (y)) [/ matemáticas]

Verifique con la segunda ecuación de Cauchy-Riemann:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ partial v} {\ partial x} = – \ frac {\ partial u} {\ partial y} [/ math]

es decir.

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ partial v} {\ partial x} (x, 0) + e ^ x \ sin (y) = – e ^ x \ cos (y) [/ math]

entonces obtienes:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ partial v} {\ partial x} (x, 0) = – e ^ x \ left (\ sin (y) + \ cos (y) \ right) [/ math]

Integre esto con respecto a x, comenzando en x = 0:

[matemática] v (x, 0) -v (0,0) = \ left (1-e ^ x \ right) \ left (\ sin (y) + \ cos (y) \ right) [/ math]

Pero como f (0) = 0, v (0,0) = 0, entonces obtienes

[matemática] v (x, 0) = \ left (1-e ^ x \ right) \ left (\ sin (y) + \ cos (y) \ right) [/ math]

Inyectando esto:

[matemáticas] \ displaystyle v (x, y) = \ left (1-e ^ x \ right) \ left (\ sin (y) + \ cos (y) \ right) + e ^ x (1- \ cos ( y)) [/ matemáticas]

Editar: cometí el error más estúpido, porque no sé mis identidades trigonométricas (quién sabe, en realidad)