No sé mucho sobre funciones holomórficas, pero sé un poco sobre funciones armónicas. Usted da [matemática] u (x, y) = e ^ x \ sin (y) [/ matemática]
Calcule las segundas derivadas:
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial x ^ 2} (x, y) = e ^ x \ sin (y) \\ \ displaystyle \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ parcial y ^ 2} (x, y) = – e ^ x \ sin (y) [/ math]
que produce la [matemática] \ displaystyle \ Delta u = \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial x ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial y ^ 2} = 0 [/ parcial matemáticas].
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U es por lo tanto armónico.
Nota: este es mi primer intento de jugar con funciones holomorfas. Si me equivoco en alguna parte, por favor dime.
Si f es holomorfo, debe obedecer las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Esto nos da dos ecuaciones en v. Resuelva una primero.
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ partial u} {\ partial x} = \ frac {\ partial v} {\ partial y} [/ math]
es decir.
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ partial v} {\ partial y} (x, y) = e ^ x \ sin (y) [/ math]
Integre esto con respecto a y, comenzando desde y = 0:
[matemáticas] v (x, y) -v (x, 0) = e ^ x (1- \ cos (y)) [/ matemáticas]
Verifique con la segunda ecuación de Cauchy-Riemann:
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ partial v} {\ partial x} = – \ frac {\ partial u} {\ partial y} [/ math]
es decir.
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ partial v} {\ partial x} (x, 0) + e ^ x \ sin (y) = – e ^ x \ cos (y) [/ math]
entonces obtienes:
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ partial v} {\ partial x} (x, 0) = – e ^ x \ left (\ sin (y) + \ cos (y) \ right) [/ math]
Integre esto con respecto a x, comenzando en x = 0:
[matemática] v (x, 0) -v (0,0) = \ left (1-e ^ x \ right) \ left (\ sin (y) + \ cos (y) \ right) [/ math]
Pero como f (0) = 0, v (0,0) = 0, entonces obtienes
[matemática] v (x, 0) = \ left (1-e ^ x \ right) \ left (\ sin (y) + \ cos (y) \ right) [/ math]
Inyectando esto:
[matemáticas] \ displaystyle v (x, y) = \ left (1-e ^ x \ right) \ left (\ sin (y) + \ cos (y) \ right) + e ^ x (1- \ cos ( y)) [/ matemáticas]
Editar: cometí el error más estúpido, porque no sé mis identidades trigonométricas (quién sabe, en realidad)