¿Cómo probarías o refutarías que hay [math] \ aleph_1 [/ math] números reales?

Answer 1

No importa [matemáticas] \ aleph_1 [/ matemáticas]. Si [math] \ aleph_1 = 2 ^ {\ aleph_0} [/ math] o no es el contenido de la hipótesis del continuo, que se ha demostrado que es independiente de los axiomas de la teoría de conjuntos.

Pregunta cómo mostrar que [math] | \ mathbb {R} | = 2 ^ {\ aleph_0} [/ math]. O incluso más generalmente, cómo mostrar que [math] | \ mathbb {R} | = | 2 ^ \ mathbb {N} | [/ math].

La forma más fácil que se me ocurre es utilizar el teorema de Schröder-Bernstein, que (a los efectos de nuestra prueba) establece que si puede encontrar una inyección [math] f: \ mathbb {R} \ to 2 ^ \ mathbb { N} [/ math] y otra inyección [math] g: 2 ^ \ mathbb {N} \ to \ mathbb {R} [/ math], entonces sus cardenales son iguales.

Una inyección [matemática] f: \ mathbb {R} \ a 2 ^ \ mathbb {N} [/ matemática] se da escribiendo cada número real [matemático] x> 0 [/ matemático] como un decimal infinito

[matemáticas] x = a_0.a_1a_2a_3 \ puntos [/ matemáticas]

(aquí [math] a_0 [/ math] es la parte entera de [math] x [/ math] y [math] a_1, a_2, a_3 \ dots [/ math] son ​​dígitos). Hay exactamente una forma de hacer esto para cada [matemática] x> 0 [/ matemática]; si un número puede escribirse como un decimal finito, entonces también puede escribirlo como un decimal infinito, reemplazando el último dígito con uno menos seguido de una cola de nueve, por ejemplo, 5 = 4.999 …). Ahora establece

[matemáticas] h (x) = \ {1a_0, 1a_0a_1, 1a_0a_1a_2, 1a_0a_1a_2a_3, \ dots \} [/ math]

donde [matemática] 1a_0 [/ matemática] significa [matemática] a_0 [/ matemática] precedida por un 1 (este 1 es para evitar problemas con números que comienzan con una gran cantidad de ceros) y cada término es la concatenación de todos los dígitos antes (por lo tanto, también un número natural). Finalmente, defina

[matemáticas] f (x) = h (e ^ x) [/ matemáticas].

Así por ejemplo

[matemática] f (0) = h (1) = \ {10,109,1099,10999 \}, [/ matemática]

[matemáticas] f (1) = h (e) = \ {12,127,1271,12718, \ puntos \}. [/ matemáticas]

Ahora no es demasiado difícil demostrar que [matemáticas] f (x) = f (y) [/ matemáticas] si y solo si [matemáticas] x = y [/ matemáticas] (la dificultad radica en demostrar que [matemáticas] h [/ math] es inyectivo, ya que [math] f = h \ circ \ exp [/ math] y se sabe que el exponencial es una biyección).

Ahora para [math] g: 2 ^ \ mathbb {N} \ to \ mathbb {R} [/ math], deje que [math] S \ subseteq \ mathbb {N} [/ math] sea un conjunto. Si [math] S [/ math] es finito, podemos elegir

[matemática] g (S) = \ sum \ limites_ {i \ en S} 10 ^ i, [/ matemática]

mientras que si [math] S [/ math] es infinito podemos elegir

[matemática] g (S) = \ sum \ limites_ {i \ en S} 10 ^ {- i}. [/ matemática]

Tenga en cuenta que [math] g (\ varnothing) = 0 [/ math]. Ahora no es demasiado difícil demostrar que [matemática] g [/ matemática] es inyectiva. Ahora hemos encontrado las funciones inyectivas requeridas, y el teorema de Schröder-Bernstein completa la demostración.

Answer 2

No puedes probar o refutar esto. [math] 2 ^ {\ aleph_0} = \ aleph_1 [/ math] se llama Hipótesis Continua, y no se puede probar ni refutar dentro de ZFC. Kurt Godel demostró que el CH es consistente con ZFC *, mientras que Paul Cohen demostró que también es inconsistente con ZFC * (Por otro lado, también ganó la Medalla Fields por ello). Juntos, esto implica que CH es completamente independiente de ZFC. Esta fue la base del forzamiento, que ahora es el método más interesante, poderoso y útil en lógica matemática.

* Más precisamente, ciertos modelos de ZFC, porque la naturaleza del forzamiento es tal que sería más preciso considerar los dos como modelos diferentes de ZFC (porque de hecho lo son).

Answer 3

[math] \ aleph_1 = 2 ^ {\ aleph_0} [/ math] es el enunciado de la hipótesis del continuo, que no se puede probar . Lo que se puede probar es que la cardinalidad [matemática] c [/ matemática] de los números reales es igual a [matemática] 2 ^ {\ aleph_0} [/ matemática].

Primero, observe que los números reales tienen la misma cardinalidad que el intervalo [matemática] [0,1] [/ matemática] (esto es fácil de mostrar).
Considere que cada número real en ese intervalo puede escribirse como una expresión decimal, y que esta expresión decimal consta de dígitos [matemáticos] \ aleph_0 [/ matemáticos]. Por lo tanto, tiene [math] c \ leq 10 ^ {\ aleph_0} \ leq (2 ^ {4}) ^ {\ aleph_0} = 2 ^ {4 \ cdot \ aleph_0} = 2 ^ {\ aleph_0} [/ math] .
Por otro lado, considere los números decimales que solo contienen los dígitos 1 y 2. Hay menos de estos que números reales, entonces [matemática] 2 ^ {\ aleph_0} \ leq c [/ matemática] (observe que [ matemática] 2 ^ {N} [/ matemática] es la cardinalidad del conjunto de poderes de un conjunto de cardinalidad [matemática] N [/ matemática]).

Por lo tanto, [math] 2 ^ {\ aleph_0} \ leq c \ leq 2 ^ {\ aleph_0} [/ math], lo que demuestra que [math] c = 2 ^ {\ aleph_0} [/ math].

EDITAR: simplifiqué un poco mi prueba reduciéndola al intervalo [matemáticas] [0,1] [/ matemáticas].

Answer 4

El Sr. Bamburger y otros han dado la respuesta tradicional correcta, su declaración no es demostrable y, por lo tanto, no tiene que ser cierta. ¿Pero debería ser verdad? ¿Qué es una respuesta intuitiva, en qué podría basarse la intuición? Si la intuición se basa en los cardenales finitos, ¿encontramos números cardinales estrictamente entre n y 2 ^ n?

n-> 2 ^ n toma 0 a 1 y 1 a 2, entonces 2 ^ n es el cardenal inmediatamente después de n para n = 0,1. Pero 3 va a 8, 4 a 16, etc., así que para n mayor que 2 vemos n

La ausencia de aumentos muy finos para cardenales infinitos es el problema; k = k + 1 si k es un cardenal infinito. Pero Paul Cohen ha demostrado que existen modelos matemáticos con aumentos muy finos para cardenales infinitos, por lo que CH es falso. No hay funciones intuitivas que realicen incrementos muy finos en cardenales infinitos. Entonces, para responder a su pregunta, debe usar el método de forzar a refutar CH.

.