Cómo explicar (simplemente) la definición de límite de [matemáticas] e [/ matemáticas] (la constante matemática)

Answer 1

Eso depende.

¿Puede explicar simplemente por qué “casa” significa “una vivienda hecha por el hombre” en lugar de “un mamífero peludo que ladra y come carne”?

Como dijiste, es una definición.

Ahora, puede que se pregunte por qué deberíamos esperar que ese límite converja a un número real positivo, pero aceptará que, una vez que sepamos que dicho número existe, lo definimos como e.

En ese caso, considere la serie que obtenemos al frustrar el término en cuestión:

[matemáticas] (1+ \ frac1 {n}) ^ n = 1 + 1 + \ frac12 + O (\ frac1 {n}) + \ frac16 + O (\ frac1 {n}) +… + \ frac1 {n! } + O (\ frac1 {n}) [/ matemáticas]

Obtienes esto aplicando el teorema binomial. Siga adelante e intente frustrar algunos ejemplos más pequeños y vea.

Debe quedar claro que a medida que x va al infinito, esto se convierte en

[matemáticas] \ sum_ {x = 0} ^ \ infty \ frac1 {x!} [/ matemáticas]

Debido a que cada término es exponencialmente más pequeño que el anterior y se acercan a cero, puede aplicar cualquier prueba que desee para series monótonas para demostrar que converge.

Y así es como sabemos que el límite tiene un valor real positivo. Un valor que Euler le asignó el nombre e.

Entonces, la pregunta que debería hacerse ahora es “¿por qué Euler pensó que este número es lo suficientemente importante como para nombrarlo?”

Answer 2

No creo que lo haga …

Cuando x se acerca al infinito, entonces (1 / x) se acerca a 0. Cualquier cosa a la potencia 0 es 1. Por lo tanto, su límite debe acercarse a 1, y no a e (aproximadamente 2.718).

Su ecuación tiene algunos términos invertidos.

La función límite para e es: [1+ (1 / x)] ^ x

Si tuviera que sustituir las potencias de 10 por x, vería rápidamente que el valor se acerca al valor de e.

Answer 3

* A2A

[matemáticas] \ text {Let} y = \ lim_ \ limits {x \ to \ infty} (1 + x) ^ {\ frac 1x} \\\ begin {ecation} \ begin {split} \ implica \ ln y & = \ lim_ \ limits {x \ to \ infty} \ dfrac {\ ln (1 + x)} x \\\ implica \ ln y & = \ lim_ \ limits {x \ to \ infty} \ dfrac {1} {1+ x} \\\ implica \ ln y & = 0 \\\ implica y & = e ^ 0 \\\ implica \ lim_ \ limits {x \ to \ infty} (1 + x) ^ {\ frac1x} & = 1 \ end {split} \ end {ecuación} \ tag * {} [/ math]

---

Si está buscando la prueba del número de Euler, debe evaluar este límite ……

[matemáticas] \ lim_ \ límites {n \ to \ infty} \ left (1+ \ dfrac1n \ right) ^ n = e \ tag * {} [/ math]

---

[matemáticas] \ text {Suponga que} y = \ lim_ \ limits {n \ to \ infty} \ left (1+ \ dfrac1n \ right) ^ n \\\ implica \ ln y = \ lim_ \ limits {n \ to \ infty} n \ ln \ left (1+ \ dfrac1n \ right) \\\ implica \ ln y = \ lim_ \ limits {n \ to \ infty} \ dfrac {\ ln \ left (1+ \ dfrac1n \ right) } {\ dfrac1n} \\\ implica \ ln y = \ lim_ \ limits {n \ to \ infty} \ dfrac {\ dfrac {1} {1+ \ dfrac1n} \ cdot \ left (- \ dfrac1 {n ^ 2 } \ right)} {- \ dfrac1 {n ^ 2}}, \ text {aplicando L ‘H} \ hat {o} \ text {regla del pital} \\\ implica \ ln y = \ lim_ \ limits {n \ to \ infty} \ dfrac n {n + 1} \\\ implica \ ln y = 1 \\\ implica y = e \\\ implica \ boxed {\ lim_ \ limits {n \ to \ infty} \ left (1 + \ dfrac1n \ right) ^ n = e} \ tag * {} [/ math]

Answer 4

e es la cantidad de dinero que $ 1 crece en un año al 100% de interés compuesto continuamente.