[matemática] n ^ 2 [/ matemática] cuando se divide entre [matemática] 5 [/ matemática] deja un resto de [matemática] 4 [/ matemática]. [matemática] n ^ 3 [/ matemática] cuando se divide entre [matemática] 5 [/ matemática] deja un resto de [matemática] 2 [/ matemática]. ¿Cuál será el resto cuando [matemáticas] n [/ matemáticas] se divida entre [matemáticas] 5 [/ matemáticas]?

Answer 1

Aquí hay un método simple de los primeros principios.

Deje n ^ 2 = 5a + 4, n ^ 3 = 5b + 2 yn = 5c + k. Nuestra tarea es determinar k. Sabemos que 0 <k <= 4. k no puede ser 0 porque entonces n es un múltiplo par de 5, en cuyo caso tanto n ^ 2 como n ^ 3 lo son.

Sabemos que n ^ 3 = n ^ 2 * n. Por lo tanto:

5b + 2 = (5a + 4) * (5c + k)

Simplificando esto, obtenemos:

25ac + 20c + 5ak + 4k = 5b + 2

O,

5 * (5ac + 4c + ak) + 4k = 5b + 2.

Lo cual diremos:

5p + A = 5b + B

Sea lo que sea k, sabemos que A = 4k es un número par. B ya es un número par (B = 2). Por lo tanto, esta ecuación significa que un múltiplo de 5 + un número par = otro múltiplo de 5 + un número par. Esto lleva a:

A – B = 10q (Tenga en cuenta que A> B estrictamente, ya que el valor más pequeño posible de k es 1, lo que lleva a A = 4, B = 2. Entonces, el LHS de esto siempre es positivo).

4k – 2 = 10q; o 4k = 10q + 2.

Entonces, sabemos que 4k es un número que termina con 2. Ahora solo hay dos opciones, k = 3 (4k = 12) o k = 8 (4k = 32). Pero k = 8 no es posible (k es estrictamente menor que 5).

Por lo tanto, nuestra respuesta es k = 3.

Permítanos verificar:

c = 0: n = 3, n ^ 2 = 9 (resto 4), n ^ 3 = 27 (resto 2).

c = 1: n = 8, n ^ 2 = 64 (resto 4), n ^ 3 = 512 (resto 2).

c = 2: n = 13, n ^ 2 = 169 (resto 4), n ^ 3 = 2197 (resto 2).

c = 3: n = 18, n ^ 2 = 324 (resto 4), n ^ 3 = 5832 (resto 2).

Y así…

Answer 2

* A2A

[matemáticas] \ begin {align} n ^ 2 & \ equiv 4 \ mod 5 \\ n ^ 3 & \ equiv2 \ mod5 \\\ text {Multiplica ambos} \\ n ^ 5 & \ equiv8 \ mod5 \\ n ^ 5 & \ equiv3 \ mod5 \\ n ^ 4 & \ equiv1 \ mod5 \ qquad \ text {(Por el pequeño teorema de Fermat)} \\\ text {Divide the} & \ text {ecuación de congruencia de} n ^ 5 \ text {por} n ^ 4 \\ n & \ equiv3 \ mod5 \ end {align} \ tag * {} [/ math]

---

[matemáticas] \ begin {align} n ^ 2 & \ equiv 4 \ mod 5 \\ n ^ 3 & \ equiv4n \ mod5 \ implica n ^ 3 = 5l + 4n \\ n ^ 3 & \ equiv 2 \ mod5 \ implica n ^ 3 = 5k + 2 \\ & \ text {Establecer las relaciones de} n ^ 3 \ text {juntos} \\ 5l + 4n & = 5k + 2 \\ 4n & = 5 (kl) +2 \\ 4n & \ equiv2 \ mod5 \ \ (- 1) n & \ equiv2 \ mod5 \\ n & \ equiv-2 \ mod5 \\ n & \ equiv3 \ mod5 \ end {align} \ tag * {} [/ math]

---

Sin embargo, no estoy completamente seguro de los métodos, solo intenté improvisar.

Answer 3

Entonces primero tenemos:

[matemáticas] \ begin {align} n ^ 2 & \ equiv 4 \ mod 5 \\\ implica n ^ 2 & \ equiv-1 \ mod 5 \\\ implica n ^ 3 & \ equiv -n \ mod 5 \ tag {1} \ end {align} [/ math]

y también nos dan:

[matemáticas] \ begin {align} n ^ 3 & \ equiv 2 \ mod 5 \\\ implica n ^ 3 & \ equiv -3 \ mod 5 \ tag {2} \ end {align} [/ math]

entonces, usando [math] (1) [/ math] y [math] (2) [/ math]:

[matemáticas] \ begin {align} n ^ 3 & \ equiv-3 \ mod 5 \\ n ^ 3 & \ equiv-n \ mod 5 \\ [1ex] \ implica n & \ equiv 3 \ mod 5 \ tag {Respuesta} \ end {align} [/ math]

Answer 4

En [matemáticas] \ Z_5 [/ matemáticas] [matemáticas] n ^ 2 = 4 = -1, n ^ 3 = 2 \ Rightarrow n = \ frac {2} {- 1} = – 2 = 3 [/ matemáticas]

Entonces la respuesta es 3.