Cómo resolver para [matemáticas] x [/ matemáticas] si [matemáticas] x ^ x = 2 [/ matemáticas]

Answer 1

Podemos hacerlo “analíticamente”, pero en realidad solo lo estamos representando en términos de funciones no elementales.

[matemáticas] x ^ x = y [/ matemáticas]

[matemáticas] x \ ln x = \ ln y [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln xe ^ {\ ln x} = \ ln y [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln x = W (\ ln y) [/ matemáticas]

[matemáticas] x = e ^ {W (\ ln y)} [/ matemáticas]

Sin embargo, no proporciona ninguna información sobre la naturaleza de las soluciones, ni siquiera la respuesta aproximada.

Debe recurrir al método de Newton, pero aún necesita tomar su apuesta inicial (lo suficientemente cerca) para mantenerlo en funcionamiento.

Para hacer eso, tenemos que tomar la derivada de [matemáticas] z = x ^ x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln z = x \ ln x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac 1z \ frac {dz} {dx} = \ ln x + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dz} {dx} = x ^ x (\ ln x + 1) [/ matemáticas]

Con la derivada en mente, puede realizar el método de Newton. Puede llamar la suposición inicial como prueba y error, pero solo necesita hacerlo una vez.

Answer 2

Eso requiere algo llamado la función Lambert W, también conocida como la función omega.

Básicamente, si tiene [matemática] y = xe ^ x [/ matemática], la función Lambert W es la inversa de ella: [matemática] W (y) = x [/ matemática].

Entonces, para su pregunta, primero tomaría el logaritmo natural de ambos lados:

[matemáticas] ln (2) = ln (x ^ x) [/ matemáticas]

[matemáticas] ln (2) = xln (x) [/ matemáticas]

Sustituya [math] e ^ {ln (x)} [/ math] por [math] x [/ math]:

[matemáticas] ln (2) = ln (x) e ^ {ln (x)} [/ matemáticas]

Y la función Lambert W:

[matemáticas] W (ln (2)) = ln (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] x = e ^ {W (ln (2))} [/ matemáticas]

Entonces, ¿cómo encuentras el valor de la función W de Lambert? Al igual que el logaritmo natural, no necesitará encontrar una forma más simple en la mayoría de los casos, y no hay una buena manera de calcularlo con lápiz y papel. En cambio, usa una computadora.

Wolfram Alpha dio un valor de aproximadamente 1.55961

Answer 3

No es la respuesta perfecta a su pregunta, pero creo que debería funcionar por ahora hasta que encontremos una solución algebraica real.

Lo que podemos hacer es trazar la gráfica de x ^ x y verificar los valores correspondientes de y, especialmente los valores integrales de y.

para valores de x de -5 a 5

para valores de x de cero a diez

para valores superiores a diez, la curva se eleva tan bruscamente que los valores de y se vuelven muy difíciles de ver y comprender.

He tomado la ayuda de Computational Knowledge Engine para trazar las curvas.

Espero que ayude (temporalmente), seguiré pensando en una solución algebraica.

Answer 4

Puede resolver por método de bisección.

Este método es bastante largo y le dará una raíz aproximada y depende del tiempo libre y la cantidad de curiosidad que tenga: PP

Obtuve una raíz como 1.560546875 .. (aproximada) usando el método anterior

Gracias !! ¡¡Uf!!

Answer 5

Este tipo de ecuaciones se resuelven utilizando la función Lambert W …

Answer 6

Sin prueba y error: ¡buena restricción! 🙂

Según la siguiente trama

x = 1.55961047 satisfará la ecuación x ^ x = 2.

🙂