Cómo demostrar que si [matemática] z = 2cis \ theta [/ matemática], entonces [matemática] 2 <| z ^ 2-z | <6 [/ matemática]

De paso,

[matemáticas] 2 <| z ^ 2-z | <6 [/ matemáticas]

(que es como se ve su declaración en el momento de mi escritura) es falso, porque si establece [math] z = 2 [/ math], entonces

[matemáticas] | z ^ 2-z | = | 2 ^ 2-2 | = | 4-2 | = 2, [/ matemáticas]

y si configuras [math] z = -2 [/ math], entonces obtienes

[matemáticas] | z ^ 2-z | = | (-2) ^ 2 – (- 2) | = | 4 + 2 | = 6. [/ Matemáticas]

Entonces, la afirmación con desigualdades estrictas es falsa, pero la afirmación con posible igualdad es válida:

[matemáticas] 2 \ leq | z ^ 2-z | \ leq 6. [/ math]

Para probar esto, primero tenga en cuenta que [math] z = 2 \ operatorname {cis} \ theta [/ math] es equivalente a [math] | z | = 2 [/ matemáticas].

Por lo tanto [matemáticas] | z-1 | \ leq | z | +1 = 2 + 1 = 3 [/ matemáticas]

y [matemáticas] | z-1 | \ geq \ left || z | – | 1 | \ right | = | 2-1 | = 1. [/ matemáticas]

Por lo tanto, tiene [matemáticas] 1 \ leq | z-1 | \ leq 3, [/ matemáticas]

y multiplicando por [matemáticas] | z | [/ matemáticas] (que es igual a 2), obtienes

[matemáticas] 2 \ leq | z || z-1 | \ leq 6. [/ math]

Finalmente, sustituya [matemáticas] | z || z-1 | = | z (z-1) | = | z ^ 2-z | [/ math] y ya está.

[matemáticas] 4–2 = | z ^ 2 | – | z | \ leq | z ^ 2-z | \ leq | z ^ 2 | + | z | = 4 + 2 [/ matemáticas] por desigualdad triangular

Como [math] | \ mathop {\ mathrm {cis}} \ theta | = 1 [/ math]

[matemáticas] | z ^ 2 – z | = | z || z-1 | = 2 | z-1 | [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 || z | -1 | \ le 2 | z-1 | \ le 2 (| z | +1) [/ matemáticas]

[matemáticas] 4 \ le 2 | z-1 | \ le 6 [/ matemáticas]

[matemáticas] z = 2 (\ cos \ theta + i \ sin \ theta) [/ matemáticas]

[matemáticas] | z | = 2 [/ matemáticas]

| [matemáticas] z ^ 2 – z | = | z (z-1) | = | z || z-1 | [/ math]

[matemáticas] = 2 | 2 \ cos \ theta + 2 i \ sin \ theta – 1 | [/matemáticas]

[matemáticas] = 2 | (2 \ cos \ theta -1) + 2 i \ sin \ theta | [/matemáticas]

[matemáticas] = 2 \ sqrt {(2 \ cos \ theta -1) ^ 2 + 4 \ sin ^ 2 \ theta} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 \ sqrt {4 \ cos ^ 2 \ theta – 4 \ cos \ theta + 1 + 4 \ sin ^ 2 \ theta} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 \ sqrt {5 – 4 \ cos \ theta} [/ matemáticas]

Eso claramente tendrá un máximo cuando [matemáticas] \ cos \ theta = -1 [/ matemáticas] de [matemáticas] 2 \ sqrt {5- -4} = 6 [/ matemáticas] y un mínimo cuando [matemáticas] \ cos \ theta = 1 [/ math] de [math] 2 \ sqrt {5-4} = 2 [/ math]. [matemáticas] \ quad \ marca de verificación [/ matemáticas]

Suponga que [math] z = 2cis (\ theta) \ por lo tanto z = 2 (cos (\ theta) + isin (\ theta)) = 2e ^ {i \ theta} [/ math]

[matemáticas] z ^ {2} = 4 (e ^ {2i \ theta} [/ matemáticas]

[matemáticas] z ^ {2} – z = 4e ^ {2i \ theta} – 2e ^ {i \ theta} = 2e ^ {i \ theta} (2e ^ {i \ theta} -1) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ mid (2e ^ {i \ theta}) (2e ^ {i \ theta} -1) \ mid [/ math]

[matemáticas] \ mid ab \ mid = \ mid a \ mid \ mid b \ mid \ por lo tanto [/ math]

[matemáticas] \ mid 2e ^ {i \ theta} \ mid = \ mid 2 \ mid \ mid e ^ {i \ theta} \ mid = 2 * 1 [/ math]

[matemáticas] 1 \ leq \ mid 2e ^ {i \ theta} – 1 \ mid \ leq 3 [/ math]

Tenga en cuenta aquí [matemáticas] -1 \ leq e ^ {i \ theta} \ leq 1, [/ matemáticas]

entonces supongamos que nuestra función es [matemática] f (x) = 2e ^ {i \ theta} – 1 [/ matemática]

entonces [matemáticas] -3 \ leq f (x) \ leq 3 [/ matemáticas]

pero si tomamos [math] 1 \ leq \ mid f (x) \ mid \ leq 3 [/ math]

entonces esto no es cierto, en cambio

[matemática] 2 \ leq \ mid z ^ {2} – z \ mid \ leq 6 [/ math]

Si z = 2 cis theta, entonces | z | = 2 y | z ^ 2 | = 4. Por la desigualdad del triángulo,

2 = | 4 – 2 | = || z ^ 2 | – | z || <| z ^ 2 - z | <|| z ^ 2 | + | z || = | 4 + 2 | = 6.