¿Cuál es la prueba matemática más interesante que has visto?

Answer 1

La raíz cuadrada de 2 es un número irracional.

Procedemos a modo de contradicción: supongamos que √2 es un número racional escrito en términos más bajos. Entonces existen enteros p, q tales que √2 = p / q donde la fracción p / q está en los términos más bajos. Es decir, los enteros son relativamente primos. Cuadrando ambos lados de la ecuación anterior tenemos 2 = (p ^ 2) / (q ^ 2) y entonces 2 * q ^ 2 = p ^ 2. Entonces vemos que p ^ 2 es un número par. Así 2 divide p. Entonces existe un número entero S tal que p = 2 * S.

1. Entonces hemos mostrado 2 * q ^ 2 = (2 * S) ^ 2 = 4 * (S ^ 2) lo que implica
2. q ^ 2 = 2 * S ^ 2 por lo tanto q ^ 2 es par. Por lo tanto, q es divisible por 2. Por lo tanto, hay un número entero R tal que q = 2 * R. Entonces tenemos la ecuación
3. √2 = p / q = (2 * S / 2 * R) = S / R. Esto es una contradicción porque cualquier fracción se puede escribir como una fracción en los términos más bajos y asumimos que p / q ya estaba en los términos más bajos. QED

Answer 2

Supongamos que queremos demostrar que [math] \ sqrt [n] {2} [/ math] es un número irracional para todos los números naturales [math] n \ geq 3 [/ math]

Vamos a que esto sea una contradicción.

Supongamos que [math] \ sqrt [n] {2} [/ math] es un número racional, esto significaría eso.

[matemáticas] \ sqrt [n] {2} = \ dfrac {p} {q} [/ matemáticas] para algunos números naturales py q.

Esto implica que [matemáticas] 2 = \ dfrac {p ^ {n}} {q ^ {n}}. [/ Matemáticas]

Que es lo mismo que [math] 2q ^ {n} = p ^ {n}. [/ Math]

Si reescribimos la última ecuación tenemos que [matemáticas] q ^ {n} + q ^ {n} = p ^ {n}. [/ Matemáticas]

Lo que claramente contradice el último teorema de Fermat.

Por lo tanto, [math] \ sqrt [n] {2} [/ math] es un número irracional.

Esta es una prueba sorprendente porque es muy simple y al mismo tiempo utiliza un teorema muy poderoso.

Answer 3

Escribiré uno que se me ocurrió hace unas semanas y que encontré muy interesante: la prueba a continuación no es rigurosa, pero aún debe ser válida (y avíseme si hay un error grave y si no puedo corregirlo) tendré que borrar mi respuesta).

La densidad total de los números primos es cero.

Hablando formalmente, esto significa que el límite cuando x va al infinito de pi (x) / x es cero, donde pi (x) denota el número de primos iguales o inferiores a x:

Función de recuento de primos – Wikipedia

Calcularemos la densidad total de primos de una manera simple.

La densidad de los números primos por encima de 2 no puede ser más de 1 / 2- la densidad de los números pares.

La densidad de los números primos por encima de 3 no puede ser mayor que (1/2) (2/3): la densidad de los números impares no es divisible por 3 (el teorema del resto chino – Wikipedia asegura que podemos seguir multiplicándonos así, como lo haremos para la mayoría del resto de esta prueba).

La densidad de los números primos superiores a 5 no puede ser mayor que (1/2) (2/3) (4/5): la densidad de los números impares no es divisible por 3 o 5.

Continuando, vemos el siguiente límite superior para la densidad D de primos:

D = (1/2) (2/3) (4/5) (6/7) (10/11) (12/13) (16/17)…

Mostraré que esto es igual a cero.

Considere en cambio un conjunto diferente de números, números pares que no son divisibles por ningún número impar mayor que 1. ¿Cuál es la densidad de tales números? No pueden ser divisibles por 3, lo que nos lleva a (2/3). No pueden ser divisibles por 5, lo que da un límite superior de (2/3) (4/5), y así sucesivamente. Pero sabemos que este conjunto son las potencias de 2, y este conjunto claramente tiene una densidad cero entre los números pares. Por lo tanto, el producto total (2/3) (4/5) (6/7) … es igual a cero, y luego D = (1/2) 0 = 0.

Answer 4

La mayoría de las veces, las pruebas que involucran números primos se complican rápidamente, pero esta no lo es. Demuestra que cada número puede escribirse como un producto de primos.

deje que [math] k [/ math] sea el número más pequeño que no se puede escribir como producto de primos.

[matemáticas] k = ab [/ matemáticas]

Si [math] k [/ math] es primo, entonces ya está factorizado primo, de lo contrario k puede escribirse como

[matemáticas] k = ab [/ matemáticas]

[matemáticas] {a, b} \ neq {1, k} [/ matemáticas]

Ahora, tenemos dos números más pequeños y dado que [math] k [/ math] es el número más pequeño que no se puede escribir como producto de primos, cada uno de ellos se puede escribir como producto de primos, lo que invalida la declaración original . Prueba por contradicción.

Answer 5

Teorema: deje que haya un cuadrado [math] a \ cdot a [/ math] y deje que cada punto sea coloreado con uno de dos colores. Entonces, para cualquier [matemática] b \ in (0, a] [/ matemática] hay un par de puntos que están exactamente separados [matemática] b [/ matemática] y ambos tienen el mismo color.

Prueba: en un cuadrado de este tipo para [matemática] b [/ matemática] existe un triángulo equilátero (en realidad, infinitamente) con cada lado de longitud [matemática] b [/ matemática]. Cualquiera de los dos vértices de dicho triángulo están separados [math] b [/ math] y luego

1. el primero y el segundo tienen colores diferentes, luego el tercero tiene el mismo color que uno de los dos primeros. QED
2. Dos de ellos tienen el mismo color. QED

Tan simple y elegante.

Answer 6

Realmente me gusta la prueba del Principio de Pigeonhole (específicamente la versión básica del mismo, no la versión generalizada).

Principio del casillero: si [math] n [/ math] los casilleros están ocupados por [math] n + 1 [/ math] o más palomas, entonces al menos un casillero tiene más de una paloma.

Prueba: Digamos que tenemos palomas [matemáticas] n [/ matemáticas] y [matemáticas] n + 1 [/ matemáticas] o más palomas. Ahora, supongamos que cada palomar tiene un máximo de una paloma. Esto significa que solo podemos tener un máximo de palomas [matemáticas] n [/ matemáticas] en total. Sin embargo, esto contradice el hecho de que tenemos palomas [matemáticas] n + 1 [/ matemáticas]. Por lo tanto, si [math] n [/ math] los casilleros están ocupados por [math] n + 1 [/ math] o más palomas, entonces al menos un principio de casillero tiene más de una paloma. QED

Answer 7

Soy fanático de la prueba teórica grupal del teorema de Euler.

Teorema de Euler: [matemática] a ^ {\ varphi (n)} \ equiv 1 (\ text {mod} \ n) [/ math] donde [math] n, a [/ math] son ​​enteros coprimos positivos y [math] \ varphi [/ math] es la función totient de Euler.

Prueba: el orden de [math] (\ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}) ^ {\ times} [/ math] es [math] \ varphi (n) [/ math] mediante un argumento de divisibilidad rápida. Como [math] n, a [/ math] son ​​números coprimos [math] a \ in (\ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}) ^ {\ times} [/ math]. Según el teorema de Lagrange [math] \ varphi (n) [/ math] es un múltiplo de [math] ord (a) [/ math] entonces [math] a ^ {\ varphi (n)} \ equiv 1 (\ text { mod} \ n) [/ math].

Answer 8

Este me hizo reír por un rato. Es tan increíblemente ‘simple’ que no puedo entender si es una broma o no. Supongo que no lo es, pero me alegré de poder seguirlo correctamente al menos.