Como [math] p [/ math] es un número primo, sabemos que la suma de los factores de [math] p ^ 4 [/ math] es:
[matemáticas] S = p ^ 4 + p ^ 3 + p ^ 2 + p + 1 = n ^ 2 [/ matemáticas] (digamos, donde [matemáticas] n [/ matemáticas] es un número natural)
Por lo tanto, [matemáticas] (2n) ^ 2 = 4S = 4p ^ 4 + 4p ^ 3 + 4p ^ 2 + 4p + 4 [/ matemáticas]
Ahora, considere esta identidad:
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[matemáticas] (2p ^ 2 + p) ^ 2 = 4p ^ 4 + 4p ^ 3 + p ^ 2 [/ matemáticas]
Está claro que [matemáticas] (2n) ^ 2> (2p ^ 2 + p) ^ 2 [/ matemáticas]
Por lo tanto: [matemáticas] 2n> 2p ^ 2 + p [/ matemáticas]
Aquí viene la parte buena.
([matemáticas] 2p ^ 2 + p + 2) ^ 2 = 4p ^ 4 + 4p ^ 3 + 9p ^ 2 + 4p + 4 [/ matemáticas]
Tenemos:
[matemáticas] 2p ^ 2 + p + 2> 2n> 2p ^ 2 + p [/ matemáticas]
Podemos concluir que [matemáticas] 2n = 2p ^ 2 + p + 1 [/ matemáticas], ¡porque estamos tratando con números naturales!
Por lo tanto, [matemáticas] (2n) ^ 2 = (2p ^ 2 + p + 1) ^ 2 = 4S [/ matemáticas]
[matemáticas] 4p ^ 4 + 4p ^ 3 + 5p ^ 2 + 2p + 1 = 4p ^ 4 + 4p ^ 3 + 4p ^ 2 + 4p + 4 [/ matemáticas]
Producimos un cuadrático simple:
[matemáticas] p ^ 2-2p-3 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] (p-1) ^ 2 = 4 [/ matemáticas]
Esto implica que [matemática] p = 3 [/ matemática], ya que [matemática] p [/ matemática] es positiva.
Ya hemos terminado!