Cómo demostrar que para cualquier número complejo [matemáticas] a [/ matemáticas], la suma de las raíces [matemáticas] n [/ matemáticas] de [matemáticas] z ^ n = a [/ matemáticas] es igual a 0

Answer 1

Hay varias formas de ver esto, algunas requieren poco o ningún cálculo.

Primero, discutamos por simetría. Es más fácil hacer eso cuando [matemáticas] a = 1 [/ matemáticas], así que centrémonos primero en este caso especial.

Tenemos un grupo de números cuyo poder [matemático] n ^ {\ text {th}} [/ matemático] es [matemático] 1 [/ matemático]. No voy a suponer que sabes algo sobre ellos; es posible que no sepas sobre números complejos, representaciones polares o lo que sea. Puede que ni siquiera sepas que hay [matemáticas] n [/ matemáticas] tales números. Todo lo que tiene que creer es que hay algunos de esos números, y al menos uno de ellos, llamémoslo [matemáticas] A [/ matemáticas] – no es [matemáticas] 1 [/ matemáticas]. (Esto significa que [matemática] n [/ matemática] debe ser mayor que [matemática] 1 [/ matemática]. Por supuesto, si [matemática] n = 1 [/ matemática], la afirmación original es simplemente falsa).

Ahora, si [math] z [/ math] es cualquiera de esos números, lo que significa [math] z ^ n = 1 [/ math], observe que [math] Az [/ math] también es ese número, porque [math ] (Az) ^ n = A ^ nz ^ n = 1 [/ matemáticas]. Multiplicar una solución por [matemáticas] A [/ matemáticas] le da otra solución. Esta es una simetría: cualquiera que sea el conjunto de soluciones, es invariante bajo multiplicación por [matemáticas] A [/ matemáticas].

Ahora, ¿qué significa esto para la suma de las soluciones? ¡Bien, la suma también debe ser invariante bajo multiplicación por [matemáticas] A [/ matemáticas]! Si sumas algunos números y obtienes [math] S [/ math], sumar los mismos números con cada uno multiplicado por [math] A [/ math] obviamente te da [math] AS [/ math], debido a que Ley distributiva. Pero en nuestro caso, la suma también es [matemática] S [/ matemática], ya que multiplicar por [matemática] [/ matemática] [matemática] A [/ matemática] simplemente permuta las soluciones. Sigue siendo el mismo conjunto, con la misma suma.

Entonces, [matemática] AS = S [/ matemática], y debido a que elegimos una solución [matemática] A [/ matemática] que no es [matemática] 1 [/ matemática], esto fuerza [matemática] S = 0 [/ matemáticas]. El único número que es invariante bajo la multiplicación por algo que no es [matemáticas] 1 [/ matemáticas] es [matemáticas] 0 [/ matemáticas].

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Esto funciona cuando [matemáticas] a = 1 [/ matemáticas]. En el caso general, de nuevo [math] A [/ math] sea cualquier solución particular de [math] z ^ n = a [/ math], y observe que todas las soluciones de esta ecuación son [math] A [/ matemática] veces una solución de [matemática] z ^ n = 1 [/ matemática]. Entonces su suma sigue siendo [matemáticas] 0 [/ matemáticas].

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Otra forma de probar esto está disponible si conoce algunos datos básicos sobre polinomios. La ecuacion

[matemáticas] z ^ na = 0 [/ matemáticas]

es una ecuación polinómica en la variable [math] z [/ math]. Si sus raíces son [matemáticas] z_1, \ ldots, z_n [/ matemáticas], entonces los polinomios

[matemáticas] z ^ na [/ matemáticas]

y

[matemáticas] (z-z_1) (z-z_2) \ cdots (z-z_n) [/ matemáticas]

deben ser iguales, ya que tienen las mismas raíces y el mismo coeficiente principal. Al expandir el producto, vemos que el coeficiente de [math] z ^ {n-1} [/ math] es [math] – (z_1 + \ ldots z_n) [/ math]. Pero ese coeficiente es [matemática] 0 [/ matemática], por lo que la suma debe ser [matemática] 0 [/ matemática].

(Por supuesto, este es solo un caso especial de las fórmulas de Vieta).

Answer 2

¿Cómo muestro que para cualquier número complejo [matemáticas] a [/ matemáticas] , la suma de las raíces [matemáticas] n [/ matemáticas] de [matemáticas] z ^ n = a [/ matemáticas] es igual a 0?

Escriba [matemáticas] a = re ^ {i \ theta} = r (\ cos \ theta + i \ sin \ theta) [/ matemáticas]. Entonces las raíces [matemáticas] n [/ matemáticas] de [matemáticas] z ^ n = a [/ matemáticas] se pueden escribir en la forma

[matemáticas] z_k = \ sqrt [n] r \ exp \ left (\ frac {i (\ theta + 2k \ pi)} {n} \ right) = \ sqrt [n] r \, e ^ {i \ theta / n} \ cdot z _ * ^ k \ quad \ text {donde} z _ * = e ^ {2 \ pi i / n} \ tag * {} [/ math]

para cualquier [matemático] n [/ matemático] valores enteros consecutivos de [matemático] k [/ matemático]. Usemos [math] k \ in \ {0,1, \ dots, n-1 \} [/ math], para que la suma sea

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} z_k = \ sqrt [n] r \, e ^ {i \ theta / n} \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} z _ * ^ k \ tag * {} [/ math]

Tenga en cuenta que [matemáticas] z _ * ^ n = e ^ {2 \ pi i} = 1 [/ matemáticas], por lo que la serie geométrica

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} z _ * ^ k = \ frac {1-z _ * ^ n} {1-z _ *} = 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Answer 3

Deje que [math] b [/ math] sea cualquier raíz enésima de [math] a \ ne 0 [/ math]. [matemática] z ^ n = a [/ matemática] si y solo si [matemática] (z / b) ^ n = 1 [/ matemática]. Entonces su ecuación es equivalente a mostrar que la suma de las enésimas raíces de la unidad es cero .

Para ver eso, deje que [math] \ omega = \ cos (2 \ pi / n) + i \ sin (2 \ pi / n) [/ math]. Entonces las enésimas raíces de la unidad son 1, [math] \ omega, \ omega ^ 2, \ dots [/ math] y [math] \ omega ^ {n-1} [/ math].

[matemáticas] 0 = \ omega ^ n – 1 = (\ omega – 1) (\ omega ^ {n-1} + \ omega ^ {n-2} + \ omega ^ {n – 3} + \ cdots + 1 )[/matemáticas]. Como [math] \ omega \ ne 1 [/ math], este último factor desaparece.

Answer 4

Su ecuación es: [matemáticas] z ^ na = 0 [/ matemáticas]. Según el teorema de Viette, la suma de las raíces es igual al coeficiente negativo para [matemáticas] z ^ {n-1} [/ matemáticas], es decir, 0.

Answer 5

Sencillo.

En un diagrama Argand, el polígono de vectores que representan las n raíces siempre se cerrará.