Espero analizar su pregunta correctamente: ¿está pidiendo el resto cuando [math] 57 ^ {67 ^ {77}} [/ math] se divide por [math] 17 [/ math]?
Estos pasos podrían hacerse más rápidamente, pero voy a tratar de expandirlos a medida que avance, espero que estén claros. En algunos lugares, estoy ampliando la notación cuando hay formas mucho más concisas de decir lo mismo en caso de que la otra notación sea menos familiar.
Hay un paso (el pequeño teorema de Fermat) que no siempre se enseña en las matemáticas de la escuela secundaria y me estoy refiriendo a wikipedia para la prueba, ya que lo haría mucho más largo.
De todos modos, lo primero que hay que saber es que 57 en sí NO es divisible por 17, pero tiene el resto 6 cuando se divide entre 17. Esto significa que para cualquier número entero positivo [matemáticas] N [/ matemáticas], [matemáticas] 57 ^ N [/ matemática] tendrá el mismo resto cuando se divida entre [matemática] 17 [/ matemática] como [matemática] 6 ^ N [/ matemática]. En notación matemática, podríamos escribir
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[matemáticas] 57 ^ N \ equiv 6 ^ N \ bmod 17 [/ matemáticas]
(¿Ves por qué esto es cierto? Una forma de verlo:
[matemáticas] 57 ^ N = (51 + 6) ^ N = 51 ^ N + N \ cdot 51 ^ {N-1} \ cdot 6 ^ 1 + \ frac {N \ cdot (N-1)} {2} \ cdot 51 ^ {N-2} \ cdot 6 ^ 2 + \ cdots N \ cdot 51 ^ 1 \ cdot 6 ^ {N-1} + 6 ^ N [/ matemáticas]
(eso es expandir el binomio [matemática] (51 + 6) ^ N [/ matemática] intermedio de poderes de [matemática] 51 [/ matemática] y poderes de [matemática] 6 [/ matemática] – todos los términos son divisibles por [matemáticas] 17 [/ matemáticas] excepto el último término [matemáticas] 6 ^ N [/ matemáticas])
(debe saber que si [matemáticas] A [/ matemáticas] tiene un resto de [matemáticas] a [/ matemáticas] cuando se divide entre [matemáticas] 17 [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas] tiene un resto de [matemática] b [/ matemática] cuando se divide entre [matemática] 17 [/ matemática], entonces [matemática] A + B [/ matemática] tiene el mismo resto que [matemática] a + b [/ matemática] y [matemática] A \ cdot B [/ math] tiene el mismo resto que [math] a \ cdot b [/ math] cuando se divide entre [math] 17 [/ math].
Entonces, realmente solo necesitamos encontrar el resto de [matemáticas] 6 ^ {67 ^ {77}} [/ matemáticas] cuando se divide entre [matemáticas] 17 [/ matemáticas].
Lo siguiente que debe saber, que no siempre es matemática en la escuela secundaria, pero ciertamente podría serlo, es el pequeño teorema de Fermat: Wikipedia, que nos dice que [matemáticas] 6 ^ {16} [/ matemáticas] tendrá un resto de [matemáticas] 1 [/ math] cuando se divide por [math] 17 [/ math]. (más generalmente, para cualquier primo [matemático] p [/ matemático], si [matemático] a [/ matemático] es un número no divisible por [matemático] p [/ matemático], [matemático] a ^ {p-1} [/ math] tendrá un resto de [math] 1 [/ math] cuando se divida entre [math] p [/ math].
Hay pruebas elementales de este hecho, pero creo que haría que esta respuesta fuera demasiado larga, por lo que me limitaré a remitirme a la página de Wikipedia. En este caso específico, también podría verificar directamente que [math] 6 ^ {16} = 2821109907456 [/ math] que de hecho es un resto de [math] 1 [/ math] cuando se divide por [math] 17 [/ math] .
De todos modos, esto significa que el resto de las potencias de 6 ciclos en un patrón repetitivo de 16 valores … si miro un número como [matemática] N = 87 [/ matemática] (elegido como un ejemplo no demasiado grande pero por lo demás más -o menos al azar) por ejemplo, entonces desde
[matemáticas] 6 ^ {87} = 6 ^ {16} \ cdot 6 ^ {16} \ cdot 6 ^ {16} \ cdot 6 ^ {16} \ cdot 6 ^ {16} \ cdot 6 ^ 7 [/ matemáticas ]
y el resto de [matemáticas] 6 ^ 7 [/ matemáticas] cuando se divide entre [matemáticas] 17 [/ matemáticas] es [matemáticas] 14 [/ matemáticas], el resto de [matemáticas] 6 ^ {87} [/ matemáticas] cuando se divide entre [matemáticas] 17 [/ matemáticas] será lo mismo que el resto de [matemáticas] 1 \ cdot 1 \ cdot 1 \ cdot 1 \ cdot 1 \ cdot 14 [/ matemáticas] cuando se divide por [matemáticas] 17 [ / matemáticas] es decir [matemáticas] 14 [/ matemáticas].
Es decir, esto muestra que: si [matemática] N [/ matemática] tiene resto [matemática] n [/ matemática] cuando se divide por [matemática] 16 [/ matemática], entonces [matemática] 6 ^ N [/ matemática] tener el mismo resto que [matemáticas] 6 ^ n [/ matemáticas] cuando se divide entre [matemáticas] 17 [/ matemáticas]
como [math] N [/ math] en el problema es [math] 67 ^ {77} [/ math], queremos encontrar el resto cuando eso se divide entre [math] 16 [/ math]. De la misma manera que antes, ya que [matemáticas] 67 [/ matemáticas] tiene el resto [matemáticas] 3 [/ matemáticas] cuando se divide entre [matemáticas] 16 [/ matemáticas], realmente necesitamos encontrar el resto de [matemáticas] 3 ^ {77} [/ matemáticas] cuando se divide entre [matemáticas] 16 [/ matemáticas].
Pero [matemática] 3 ^ 4 = 81 [/ matemática] ya tiene resto [matemática] 1 [/ matemática] cuando se divide por [matemática] 16 [/ matemática] así (de manera análoga a lo que hicimos al encontrar el resto de [matemática] 6 ^ {87} [/ matemática] cuando se divide entre [matemática] 17 [/ matemática]):
Dado que [matemáticas] 3 ^ {77} = 3 ^ 4 \ cdot 3 ^ 4 \ cdot 3 ^ 4 \ cdots 3 ^ 4 \ cdot 3 ^ 1 [/ matemáticas]
el resto de [matemática] 3 ^ {77} [/ matemática] cuando se divide por [matemática] 16 [/ matemática] será lo mismo que
[matemáticas] 1 \ cdot 1 \ cdot 1 \ cdot 1 \ cdots 1 \ cdot 3 [/ math], es decir, será [math] 3 [/ math]
(esto realmente dice: desde [math] 77 \ equiv 1 \ bmod 4 [/ math], [math] 3 ^ {77} \ equiv 3 ^ 1 \ bmod 16 [/ math])
De todos modos, ESO significa que el resto de [matemáticas] 6 ^ {67 ^ {77}} [/ matemáticas] cuando se divide entre [matemáticas] 17 [/ matemáticas] es lo mismo que el resto de [matemáticas] 6 ^ 3 [/ matemáticas] cuando se divide entre [matemáticas] 17 [/ matemáticas] y eso es lo suficientemente pequeño como para calcular directamente, 216 tiene el resto [matemáticas] 12 [/ matemáticas] cuando se divide entre [matemáticas] 17 [/ matemáticas].
