Se nos pide la quinta raíz de [matemáticas] -2i. [/ Matemáticas] Habrá cinco de ellas. Si tiene uno de ellos y las cinco quintas raíces de la unidad, puede generar los cinco. Eso es porque si [matemáticas] w ^ 5 = 1, [/ matemáticas] entonces
[matemáticas] z ^ 5 = w ^ 5 (-2i) [/ matemáticas]
[matemáticas] z = w (-2i) ^ {\ frac 1 5} [/ matemáticas]
Pero eso no nos lleva muy lejos porque todavía necesitamos una raíz cúbica. Empecemos de nuevo.
En coordenadas polares, tenemos [math] -i = e ^ {- i \ pi / 2}, [/ math] y para el entero [math] k [/ math], siempre tenemos [math] e ^ {2 \ pi ki} = 1. [/ matemáticas]
[matemáticas] z = (-2i) ^ {\ frac 1 5} = (2 e ^ {- i \ pi / 2} e ^ {2 \ pi ki}) ^ {\ frac 1 5} = \ sqrt [5 ] {2} e ^ {i (- \ pi / 10 + 2 \ pi k / 5)} [/ math] [math] = \ sqrt [5] {2} (\ cos (- \ pi / 10 + 2 \ pi k / 5) + i \ sin (- \ pi / 10 + 2 \ pi k / 5)) [/ math]
La mayoría de las personas sensatas se detendrían aquí. Encontramos las cinco raíces, para cualquier cinco consecutivas [matemáticas] k. [/ Matemáticas] Podríamos escribirlas
[matemáticas] z_0 = \ sqrt [5] {2} (\ cos (\ pi / 10) – i \ sin (\ pi / 10)) [/ matemáticas]
[matemáticas] z_1 = \ sqrt [5] {2} (\ cos (3 \ pi / 10) + i \ sin (3 \ pi / 10)) [/ matemáticas]
[matemáticas] z_2 = \ sqrt [5] {2} (\ cos (7 \ pi / 10) + i \ sin (7 \ pi / 10)) [/ matemáticas]
[matemáticas] … [/ matemáticas]
Una calculadora nos da una aproximación. Pero me gusta obtener lo que se llama una respuesta “exacta” en coordenadas rectangulares.
Necesitamos las funciones trigonométricas de [math] \ pi / 10, [/ math] una vigésima parte de un círculo, [math] 360 ^ \ circ / 20, [/ math] que es [math] 18 ^ \ circ. [/ matemática] Este es el problema trigonométrico poco frecuente que utiliza [matemática] \ cos 18 ^ \ circ [/ matemática] y [matemática] \ sen 18 ^ \ circ. [/ matemática] El triángulo [matemática] (18,72,90) [/ math] es accesible para nuestro trigonometrico pero rara vez se usa en ejemplos Tenga en cuenta que [matemática] 2 \ pi / 5 = 72 ^ \ circ, [/ matemática] complementaria a [matemática] 18 ^ \ circ. [/ Matemática]
La respuesta implica la proporción áurea [matemática] \ phi [/ matemática], así que repasemos brevemente. La idea es encontrar la forma del rectángulo de manera que cuando elimines el cuadrado construido en el lado corto, te quede un rectángulo similar al original. Es más fácil pensar en un rectángulo [math] 1 \ times \ phi [/ math], y cuando eliminamos un cuadrado [math] 1 \ times 1 [/ math], tenemos un [math] (\ phi-1) \ veces 1 [/ math] rectángulo. Como los dos rectángulos son similares, las proporciones de los lados correspondientes deben ser iguales:
[matemáticas] \ dfrac {1} {\ phi} = \ dfrac {\ phi – 1} {1} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ phi ^ 2 – \ phi -1 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ phi = \ dfrac {1 + \ sqrt {5}} {2} [/ matemáticas]
Escogemos la raíz positiva ya que el signo menos da una longitud negativa, no física.
No es demasiado difícil cuadrar y tomar el recíproco de [math] \ phi [/ math]. De su ecuación definitoria, sabemos [matemática] \ phi ^ 2 = \ phi + 1 [/ matemática] y [matemática] 1 / \ phi = \ phi-1. [/ Matemática]
Eso termina nuestra revisión de la proporción áurea.
[matemática] a = 72 ^ \ circ [/ matemática] satisface [matemática] \ cos (3a) = \ cos (2a) [/ matemática] (porque [matemática] 360 = 5 (72), [/ matemática] y [ matemáticas] 5 (72) – 2 (72) = 3 (72) [/ matemáticas]). Si [math] x = \ cos a, [/ math] las fórmulas de ángulo doble y triple nos dicen
[matemáticas] 4 x ^ 3 – 3 x = 2 x ^ 2 – 1 [/ matemáticas]
([matemáticas] x-1) (4x ^ 2 + 2x – 1) = 0 [/ matemáticas]
[matemática] x = 1 [/ matemática] o [matemática] x = \ dfrac {-1 \ pm \ sqrt {5}} {4} = 1 / (2 \ phi) [/ matemática] o [matemática] – \ phi / 2 [/ matemáticas]
Eso fue bastante breve, haga clic aquí para obtener una derivación más pausada.
Seleccionando los cuadrantes, obtenemos
[matemáticas] \ cos (72 ^ \ circ) = (\ sqrt {5} -1) / 4 = 1/2 \ phi [/ matemáticas]
donde [math] \ phi [/ math] está destinado a estar en el denominador. Este es un número positivo, la mitad de la proporción áurea.
[matemática] a = 144 ^ \ circ [/ matemática] también satisface [matemática] \ cos (3a) = \ cos (2a), [/ matemática] así que esa es la raíz negativa,
[matemáticas] \ cos (144 ^ \ circ) = – (\ sqrt {5} + 1) / 4 = – \ phi / 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ cos (36 ^ \ circ) = – \ cos (180 ^ \ circ-36 ^ \ circ) = – \ cos (144 ^ \ circ) = (\ sqrt {5} + 1) / 4 = \ phi / 2 [/ matemáticas]
¿Qué hay de los senos? No son tan bonitas.
[matemáticas] \ sin (72) = \ sqrt {1 – (\ sqrt {5} -1) ^ 2/4 ^ 2} [/ matemáticas] [matemáticas] = \ sqrt {(16- (6 -2 \ sqrt {5}) / 16} [/ math] [math] = \ sqrt {(5+ \ sqrt {5}) / 8} [/ math] [math] = \ sqrt {2+ \ phi} / 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sin (36) = \ sqrt {(16 – (\ sqrt {5} +1) ^ 2) / 16} = \ sqrt {(16 – (6 + 2 \ sqrt {5})) / 16 } = \ sqrt {(5- \ sqrt {5}) / 8} = \ sqrt {3- \ phi} / 2 [/ math]
Observando los ángulos complementarios 18 y 72, finalmente podemos obtener nuestra respuesta. Para [matemáticas] k = 0 [/ matemáticas] tenemos
[matemáticas] z_0 = \ sqrt [5] {2} (\ cos 18 – i \ sin 18) = \ sqrt [5] {2} (\ sin 72 – i \ cos 72) = \ sqrt [5] {2 } (\ sqrt {(5+ \ sqrt {5}) / 8} – i (\ sqrt {5} -1) / 4) [/ math]
Vamos a ver eso antes de continuar. La magnitud es correcta; la pregunta es qué es
[matemáticas] (\ sqrt {(5+ \ sqrt {5}) / 8} – i (\ sqrt {5} -1) / 4) ^ 5 [/ matemáticas]
No tengo la fuerza para eso. Alpha informa que es “aproximadamente” [matemáticas] -i, [/ matemáticas] lo suficientemente bueno para mí.
¿Qué pasa con las otras raíces? Como notamos al principio, si tenemos un complejo [matemático] w [/ matemático] donde [matemático] w ^ 5 = 1 [/ matemático] [matemático] [/ matemático] podemos obtener las otras raíces cúbicas multiplicando el uno que tenemos por poderes de [matemáticas] w. [/ matemáticas]
[matemáticas] w = e ^ {i (2 \ pi / 5)} = \ cos 72 + i \ sin 72 = (\ sqrt {5} -1) / 4 + i \ sqrt {(5+ \ sqrt {5 }) / 8} [/ matemáticas]
[matemáticas] z_1 = w z_0 [/ matemáticas]
pero tampoco voy a resolver eso. Probablemente ya tengamos todas las partes; veamos;
[matemáticas] z_1 = \ sqrt [5] {2} (\ cos (3 \ pi / 10) + i \ sin (3 \ pi / 10)) = \ sqrt [5] {2} (\ cos (54) + i \ sin (54)) = \ sqrt [5] {2} (\ sin (36) + i \ cos (36)) [/ math]
y ahora sabemos cómo escribir eso, lo cual no me molestaré en hacer.
Los ángulos restantes son [matemática] -18 + 72k. [/ Matemática] Para [matemática] k = 2 [/ matemática] que da 126, suplementaria a 54. Para [matemática] k = 3 [/ matemática] que da 198, suplementario a -18. Así que esos son los diversos senos y cosenos que ya resolvimos, con los signos ajustados. No me molestaré en escribirlos.
Para [matemáticas] k = 4 [/ matemáticas] tenemos [matemáticas] -18 + 72k = 270, [/ matemáticas] una fácil:
[matemáticas] z_4 = – i \ sqrt [5] {2} [/ matemáticas]
