¿Es necesaria una tabla de multiplicación para definir la operación de multiplicación para números en base [math] b [/ math]?

Answer 1

No , la multiplicación de números se define sin referencia a cómo se representan esos números (en una notación posicional a alguna base o cualquier otra forma de representar números).

Deje que [math] u, v, w, x [/ math] sean dígitos en la base [math] b [/ math] y suponga que [math] uv [/ math] y [math] wx [/ math] son ​​dos dobles- números de dígitos en esa base. Los números reales representados son:

• [matemáticas] n = u \ cdot b + v [/ matemáticas]; y
• [matemáticas] m = w \ cdot b + x [/ matemáticas].

Su multiplicación es:

[matemáticas] \ quad uv \ veces wx \ equiv n \ veces m = u \ cdot w \ cdot b ^ 2 + (u \ cdot x + w \ cdot v) b + v \ cdot x [/ math]

Para representar este resultado en base [math] b [/ math], necesitamos conocer los resultados individuales de los productos de dígitos, una tabla de multiplicar si lo desea. Por ejemplo [math] 7 \ times6 = 52 [/ math] en base [math] 8 [/ math] (octal), pero el hecho de que el resultado sea el número “cuarenta y dos” es independiente de su representación como [math] ] 52 [/ matemática] en octal, [matemática] 42 [/ matemática] en decimal, [matemática] 2 \ text {A} [/ matemática] en hexadecimal o [matemática] \ blacklozenge \ lozenge \ blacklozenge \ blacklozenge [/ matemáticas] en primal [1].

En principio, puede hacer cualquier multiplicación usando el concepto abstracto de un número, convirtiendo la respuesta a notación posicional en base [math] b [/ math] solo al final. En cierto sentido, esto es lo que hace una calculadora o computadora, aunque, por supuesto, tienen su propia representación interna del concepto abstracto como varios voltajes altos o bajos en los circuitos.

En la práctica, la tabla de multiplicación relevante en la base [matemáticas] b [/ matemáticas] hace las cosas mucho más fáciles para un humano, incluso si no es estrictamente necesario. Es por eso que recibimos nuestras tablas de multiplicar (en decimal) en la escuela primaria , o incluso antes.

Para la mayoría de las personas en la práctica, multiplicamos en bases distintas de diez convirtiendo ay desde decimal. Para obtener la respuesta a [matemáticas] 7 \ veces6 [/ matemáticas] en octal, “busqué” mi multiplicación en decimal y la dividí entre ocho para obtener cinco restantes dos. Las personas que hacen cálculos regulares en octal o hexadecimal, por otro lado, es probable que aprendan la tabla de multiplicación relevante de memoria tal como la mayoría de nosotros lo hemos hecho con decimal.

Tenga en cuenta que lo único que hace que el decimal sea especial es nuestra familiaridad con él. Esta familiaridad hace que algunas personas crean erróneamente que un número es su representación decimal. Solo recuerda que la respuesta a la última pregunta de la vida, el universo y todo es [matemáticas] \ blacklozenge \ lozenge \ blacklozenge \ blacklozenge [/ math], como sea que lo representes.

Notas al pie

[1] La respuesta de Alan Bustany a ¿Cómo sería un sistema numérico alternativo?

Answer 2

No. Las tablas de multiplicación ni siquiera son necesarias para definir la operación de multiplicación en base diez, y mucho menos en cualquier base [matemática] b [/ matemática].

La definición de multiplicación de números naturales es simplemente la suma repetida. En general, [matemática] m \ veces n [/ matemática] se define como [matemática] m + m + \ cdots + m [/ matemática] ([matemática] n [/ matemática] veces), o algunas veces como [matemática] n + n + \ cdots + n [/ math] ([math] m [/ math] veces): estos son equivalentes. La representación de este número [math] m \ times n [/ math] no se ve afectada por esta definición de ninguna manera.

Por ejemplo, [math] 3 \ times 4 [/ math] se define como [math] 3 + 3 + 3 + 3 [/ math]. El hecho de que este número se represente como [matemáticas] 12 [/ matemáticas] en base diez y como [matemáticas] 10 [/ matemáticas] en base doce es irrelevante, y no tiene nada que ver con la definición de multiplicación.

Answer 3

Realmente no.

La multiplicación de números en cualquier base debería proporcionar la misma respuesta que la multiplicación en la base 10. Lo que será diferente es la representación de la respuesta.

Tener una tabla de multiplicar puede ser una forma de ayudarlo a realizar la multiplicación. Pero una forma perfectamente aceptable de hacer el cálculo es convertir los números de la base b a la base 10; realiza la multiplicación y luego convierte el número final nuevamente en la base b. Con ese método, no se requiere una tabla de multiplicar en la base b.

Answer 4

¡Ciertamente no! La definición de multiplicación funciona de la misma manera, sin importar la base que use, y no depende de la base.

Si quieres aprender a multiplicar rápidamente en tu cabeza, entonces es posible que necesites una tabla de multiplicar. Siempre puede usar la definición de “suma repetida”, pero esto puede ser tedioso. Es más rápido si puede tener datos de multiplicación de un solo dígito comprometidos en la memoria.