Mi conclusión [matemática] i> i ^ 2 [/ matemática] para cualquier operador mayor que se define para que coincida con lo que queremos decir con el uso diario del término “mayor que”.
Hay una serie de axiomas algebraicos que querrá que cumpla su operador “mayor que”. Sería mejor si tu clasificación pudiese convertir todos los axiomas en un campo ordenado: Wikipedia. Lamentablemente, eso es imposible para el conjunto de números complejos. Sin embargo, siempre voy a requerir que al menos los siguientes axiomas sean ciertos:
- Mi operador conserva los pedidos de números puramente reales. por ejemplo, [matemáticas]…> 2> 1> 0> -1> -2>… [/ matemáticas]
Este axioma parece razonable, ¿por qué aceptaría una definición mayor que la que tiene [matemáticas] -1> 0 [/ matemáticas]?
- El orden puramente imaginario de mi operador en la dirección del eje imaginario es el mismo que si los valores fueran reales. por ejemplo, [matemáticas]…> 2i> i> 0> -i> -2i>… [/ matemáticas]
Este axioma parece razonable, ya que no tengo una buena razón para tratar el eje imaginario de manera diferente al eje real.
- El pedido debe ser transitivo . Si [matemática] x> y [/ matemática] y [matemática] y> z [/ matemática] entonces [matemática] x> z [/ matemática].
Si rechazamos este axioma, no podremos ordenar nuestros valores de manera consistente.
Los tres axiomas parecen esenciales para coincidir con el uso diario del término mayor que. Hay MUCHAS formas de definir la ordenación que cumplen con las tres propiedades. Digamos que elijo cualquiera de las definiciones de operador que cumple con los tres criterios. Entonces tengo:
Por el primer axioma:
[matemáticas] 0> -1 [/ matemáticas]
Por el segundo axioma:
[matemáticas] i> 0 [/ matemáticas]
Por lo tanto, por la propiedad transitiva:
[matemáticas] i> -1 [/ matemáticas]
Por lo tanto, por sustitución de [matemáticas] -1 = i ^ 2 [/ matemáticas]:
[matemáticas] i> i ^ 2 [/ matemáticas]
QED
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La única pregunta es si es razonable usar el término mayor que y el símbolo [math]> [/ math] en una solución de pedido que no puede cumplir las condiciones de un campo ordenado. A saber de wikipedia:
Uno puede “multiplicar desigualdades con elementos positivos”: si a ≤ by 0 ≤ c , entonces ac ≤ bc
Resulta que hay problemas cotidianos que verá en los libros de texto de conjuntos que no cumplen con este criterio en el que todavía usamos las palabras mayores que y el símbolo [math]> [/ math]. Eso es ángulos. Uno de millones de ejemplos:
Definición de ángulo obtuso
Con suerte, podemos estar de acuerdo, [matemáticas] 15 ^ \ circ> 5 ^ \ circ [/ matemáticas]. Pero, ¿qué sucede si agrego [matemática] 170 ^ \ circ [/ matemática] a ambos lados de la ecuación? ¿Es [matemáticas] 185 ^ \ circ> 175 ^ \ circ [/ matemáticas]? Esto se reduce a la definición. ¿Estoy considerando ángulos de [matemática] 0 ^ \ circ [/ matemática] a [matemática] 360 ^ \ circ [/ matemática], o de [matemática] -180 ^ \ circ [/ matemática] a [matemática] + 180 ^ \ circ [/ matemáticas]? Si es de [matemática] 0 ^ \ circ [/ matemática] a [matemática] 360 ^ \ circ [/ matemática], entonces de hecho [matemática] 185 ^ \ circ> 175 ^ \ circ [/ matemática]. Pero si estoy midiendo [matemática] -180 ^ \ circ [/ matemática] a [matemática] + 180 ^ \ circ [/ matemática] entonces realmente tengo [matemática] -175 ^ \ circ> 175 ^ \ circ [/ matemática ] que definitivamente no es cierto.
Entonces, cuando trato con ángulos, no puedo simplemente agregar el mismo número a ambos lados, y esperar que mi desigualdad siga siendo la misma. Tengo que preguntarme si alguno de mis ángulos se ha salido del rango y ha tenido que volver a ajustarlo. Podría hacer el problema de álgebra como el siguiente:
[matemáticas] 15 ^ \ circ> 5 ^ \ circ [/ matemáticas]
[matemáticas] 15 ^ \ circ + 170 ^ \ circ> ^? 5 ^ \ circ + 170 ^ \ circ [/ matemáticas]
[matemáticas] 185 ^ \ circ> ^? 175 ^ \ circ [/ matemáticas]
[matemáticas] -175 ^ \ circ <175 ^ \ circ [/ matemáticas]
El [math]> ^? [/ Math] es solo mi símbolo para indicar que necesito evaluar los rangos para ver si la desigualdad necesita cambiar. Puedes ver que esta parte de las matemáticas modulares podría ser un dolor en el cuello si haces álgebra simbólica. Incluso con números reales terminas con un desastre:
Dado, [matemáticas] x> y [/ matemáticas]
[matemática] cx> cy [/ matemática], si [matemática] c> 0 [/ matemática]
[matemáticas] cx
[matemáticas] cx = cy [/ matemáticas], si [matemáticas] c = 0 [/ matemáticas]
Al igual que con los números reales, tenemos que dividir nuestro álgebra simbólica en casos al realizar nuestros pasos algebraicos.
Ahora, ¿podrías pensar cómo se relaciona el orden de los números complejos? Resulta que es el mismo problema exacto. Una forma común de representar números complejos es con una magnitud y un ángulo.
[matemáticas] c = r (cos (\ phi) + i {\,} sin (\ phi)) [/ matemáticas]
Donde c es complejo, r es real y [math] \ phi [/ math] es real. Podemos abreviar esto como:
[matemáticas] c = r {e ^ {i \, \ phi}} [/ matemáticas]
Si multiplicas dos números complejos obtienes:
[matemáticas] c_1 c_2 = r_1 r_2 {e ^ {i (\ phi_1 + \ phi_2)}} [/ matemáticas]
¿Notan que los ángulos se suman? Esto significa que vamos a tener exactamente el mismo problema al multiplicar números complejos con un operador de desigualdad que teníamos al agregar ángulos. Lo que significa que, de nuevo, tenemos que elaborar reglas especializadas para nuestro álgebra, que dependerá de cómo definamos nuestro pedido.
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Así como ese problema no nos impide decir [matemáticas] 15 °> 5 ° [/ matemáticas], tampoco nos impide decir si [matemáticas] i> i ^ 2 [/ matemáticas]. Sin embargo, significa que dependerá de cómo definamos nuestra clasificación. También significa que tendremos que tener cuidado al hacer álgebra para usar reglas especializadas para nuestra clasificación …
Uno de los más simples es el orden primero en el componente real y luego en el componente imaginario. p.ej
Dado, [matemática] c = a + i \, b [/ matemática] donde [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] son números reales, defina:
[matemática] c_1> c_2 [/ matemática], si y solo si [matemática] a_1> a_2 [/ matemática],
o [matemáticas] ([/ matemáticas] [matemáticas] a_1 = a_2 [/ matemáticas] y [matemáticas] b_1> b_2 [/ matemáticas]).
Esto da [matemáticas] i> i ^ 2 [/ matemáticas].
Si bien es simple, no me gusta mucho esta clasificación. En cambio, podría tratar y tratar lo real y lo imaginario más igualitario con un pedido:
[matemáticas] c_1> c_2 [/ matemáticas], si y solo si [matemáticas] a_1 + b_1> a_2 + b_2 [/ matemáticas],
o ([matemática] a_1 + b_1 = a_2 + b_2 [/ matemática] y [matemática] a_1-b_1> a_2-b_2 [/ matemática]).
Esto todavía da [matemáticas] i> i ^ 2 [/ matemáticas].
Aún así, esto parece contrario a la intuición de alguna manera. En cambio, podría intentar usar un sistema de tipo de coordenadas polares. Me gusta:
Dado, [math] c = r \, e ^ {i \, \ phi} [/ math] donde [math] r [/ math] es un número real y [math] \ phi [/ math] está en el rango [matemáticas] [-45 ^ \ circ, 135 ^ \ circ) [/ matemáticas], defina:
[matemáticas] c_1> c_2 [/ matemáticas], si y solo si [matemáticas] r_1> r_2, [/ matemáticas]
o ([matemática] r_1 = r_2 [/ matemática] y [matemática] \ phi_1> \ phi_2 [/ matemática]).
Esto todavía da [matemáticas] i> i ^ 2 [/ matemáticas].
Nota: Elijo este rango de ángulo particular porque trata el eje imaginario y el eje real por igual y gira la función de paso fuera del eje.
Los tres de estos pedidos requieren álgebra especial. Solo terminaron con la misma respuesta consistente a su pregunta, porque requiero que mi pedido se cumpla para cumplir con la mayoría de los axiomas de un campo ordenado.
Algunos ordenamientos, como el ordenamiento Lexográfico Polar, no cumplen con estos axiomas. No digo que sea incorrecto usar estos oders, solo digo que los pedidos con resultados como -2> 1 no usan el uso diario del término mayor que, ni el símbolo>, por lo que no es necesario tenerlos en cuenta al responder esta pregunta .
