¿Se resuelven correctamente estas series Taylor? [Matemáticas] f (x) = e ^ {- 2x-3} [/ matemáticas] acerca de [matemáticas] a = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] f (x) = ln (x ) [/ math] acerca de [math] a = 2 [/ math]?

Answer 1

Por que lo harias…

Generalmente es una mala idea tomar derivados. A veces no tienes otra opción, pero siempre es una mejor idea comenzar con funciones conocidas.

Sabiendo que

[matemáticas] \ displaystyle \ exp (x) = \ sum_ {n = 0} ^ {+ \ infty} \ frac {x ^ n} {n!} [/ math]

para cualquier [math] x \ in \ mathbb R [/ math]

usted obtiene:

[matemáticas] \ displaystyle e ^ {- 2x-3} = e ^ {- 3} e ^ {- 2x} = e ^ {- 3} \ sum_ {n = 0} ^ {+ \ infty} \ frac {( -1) ^ n 2 ^ n} {n!} X ^ n [/ matemáticas]

Del mismo modo, queremos expresar [math] \ ln (x) [/ math] como una serie de potencias “in” [math] (x-2) [/ math]. El álgebra elemental te dará:

[matemáticas] \ displaystyle \ ln (x) = \ ln (2+ (x-2)) = \ ln (2) + \ ln (1+ \ frac {x-2} {2}) [/ matemáticas]

Ahora, usted sabe que [matemáticas] \ displaystyle \ ln (1 + x) = \ sum_ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ frac {(- 1) ^ {n-1}} {n} x ^ n [/ math] para [math] | x | \ lt 1 [/ math]

sustituyendo …

[matemáticas] \ displaystyle \ ln (x) = \ ln (2) + \ sum_ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ frac {(- 1) ^ {n-1}} {2 ^ nn} ( x-2) ^ n [/ matemáticas]

Esto solo es válido si [math] | \ frac {x-2} {2} | \ lt 1 [/ math]. Si desea una aproximación local, trunca la serie en, digamos, rango [matemática] n [/ matemática] y agregue [matemática] + \ matemática {O} (x ^ {n + 1}) [/ matemática] para primero, y [math] + \ mathcal {O} ((x-2) ^ {n + 1}) [/ math] para el segundo.

Nunca me gustó diferenciar las funciones, generalmente es un método que induce errores

Otra nota: tenga cuidado con el “…”. ¿Qué se supone que significan? ¿Es su aproximación local? ¿Global?

Answer 2

En la primera serie olvidaste poner los poderes de x