Si asumimos gráficos no dirigidos, entonces necesitamos encontrar el número de formas diferentes en que podemos emparejar [math] n = 2k, k \ in \ mathbb {n} [/ math] vértices. De manera análoga, digamos que tenemos una clase de [matemáticas] n = 2k, k \ in \ mathbb {n} [/ matemáticas], y queremos encontrar la cantidad de formas en que podemos emparejarlos para hacer un proyecto de pares.
La respuesta sería [math] \ dfrac {(2k)!} {(2!) ^ Kk!} [/ Math]. Por ejemplo, si tenemos 4 vértices [matemática] v_1, v_2, v_3, v_4 [/ matemática], podemos emparejarlos de 3 maneras: [matemática] [(v_1, v_2), (v_3, v_4) [/ matemática ]], [matemáticas] [(v_1, v_3), (v_2, v_4)] [/ matemáticas] y [matemáticas] [(v_1, v_4), (v_2, v_3)] [/ matemáticas]. Dado que el orden de los vértices en cada par no importa (es decir, [math] (v_1, v_2) [/ math] es el mismo que [math] (v_2, v_1) [/ math]), necesitamos dividir [math] k [/ math] veces por un factor de [math] 2! [/ math], y el orden de los pares no importa, por lo que también debemos dividir entre [math] k! [/ math] (es decir, [math] ] [(v_1, v_2), (v_3, v_4)] [/ math] es lo mismo que [math] [(v_3, v_4), (v_1, v_2)] [/ math]).
También hay una prueba inductiva de esta fórmula sobre la que he escrito en esta respuesta.
¿Cuál es la prueba de la historia para [math] \ frac {(2n)!} {2 ^ nn!} = (2n – 1) (2n – 3) \ dots 3 \ cdot 1 [/ math]?
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Si asumimos gráficos dirigidos, entonces el orden de los vértices en los pares será importante, por lo que la respuesta sería [matemáticas] \ dfrac {(2k)!} {K!} [/ Matemáticas].