¿Qué es exactamente el análisis de elementos finitos? ¿Cómo se explicaría el concepto básico a un amigo de pregrado?

Answer 1

Mukunda Madhava Nath ofrece una buena visión general de cómo funciona el método de elementos finitos, pero solo quería agregar un poco más sobre las matemáticas detrás de él. Estas matemáticas se ponen un poco complicadas y en su mayoría son de posgrado, pero espero poder explicarlas a nivel de pregrado.

Matemáticas detrás del método de elementos finitos

Cuando comienzas a aprender métodos numéricos, el método de diferencia finita ciertamente tiene sentido; simplemente estás aproximando una derivada por una línea secante. Si aprende sobre el método de volumen finito, también es bastante intuitivo descubrirlo; cada elemento de volumen es simplemente un balance de flujo. Pero cuando aprendes por primera vez el método de elementos finitos, generalmente piensas, ¿quién demonios pensó esto?

La base matemática para el FEM radica en la matemática de los espacios de Hilbert. Un espacio de Hilbert es una forma de tratar una función como un vector para que podamos hacer algunos trucos matemáticos con él. Recuerde que un vector es una serie de valores multiplicados por un conjunto de vectores de base ortogonales (como los vectores unitarios que definen las direcciones x, y y z … piense en los vectores unitarios i, j, k ). Podemos usar una técnica similar para definir una función. Primero, elegimos un conjunto de funciones básicas en lugar de vectores (las funciones deben ser ortogonales entre sí [funciones ortogonales] pero eso es demasiado para las matemáticas) y luego podemos definir la función original como una suma de coeficientes multiplicada por esas funciones básicas (si el amigo universitario está familiarizado con las transformadas de Fourier, entonces esto debería parecerle familiar) de esta manera:

[matemáticas] u = \ sum_ {k = 1} ^ \ infty \ alpha_k \ psi_k [/ matemáticas]

donde [math] \ psi [/ math] es la función base.

El siguiente paso es convertir nuestra ecuación diferencial en algo llamado “formulación débil” (no voy a vincular a esto porque la página Wiki es demasiado complicada). Básicamente, esto se multiplica por una función de prueba y luego se integra sobre el espacio. Sin entrar en los detalles, así es como convertimos nuestra ecuación diferencial en una forma en la que podamos usar nuestra matemática vectorial. Este formulario es un “producto interno” (el equivalente a un producto de punto, excepto que ahora estamos tratando con funciones … ver Espacio interno del producto) de nuestra solución y la función de prueba. Este producto interno es una integral y podemos usar la integración por partes para convertirlo a una forma más manejable (que también incluye algunas buenas formas de imponer condiciones de contorno).

Después de esto, nos deshacemos de un poco de la abstracción y reconocemos que en realidad estamos tratando con un espacio de dimensión finita. Por lo tanto, los vectores de función no son infinitos y en realidad no estamos sumando al infinito. Esto es lo que se entiende por discretización en el FEM. La discretización que utilizamos está determinada por nuestra malla y normalmente tenemos dos funciones básicas para cada lado de un elemento en nuestra malla (una cuadrícula cuadrada de 20 × 20 proporciona 441 funciones básicas únicas si hice los cálculos correctamente). ¿Recuerdas nuestras funciones básicas que elegimos antes? Usamos un número finito de estos para representar la solución de nuestra ecuación diferencial como esta:

[matemáticas] u ‘= \ sum_ {k = 1} ^ n \ alpha_k \ psi_k [/ matemáticas]

La única diferencia entre esto y lo que está arriba es que ahora nuestra suma es finita.

El siguiente truco es dejar que nuestra función de prueba sea ​​una función básica . También nos aseguramos de elegir funciones básicas para que no se superpongan. Esto garantiza que sean “ortogonales” como queríamos antes y nos brinda una forma realmente fácil de aproximar nuestra solución sobre el dominio de interés. Estas funciones básicas son a menudo polinomios (especialmente polinomios cuadráticos).

Casi parece que hemos hecho el problema más difícil al agregar toda esta abstracción y matemáticas, pero al final de todo esto, ¿qué hemos hecho realmente aquí? Hemos convertido el problema en su forma de matriz y ahora podemos resolverlo usando álgebra matricial. Si el problema era lineal para empezar, simplemente estamos resolviendo

[matemáticas] \ mathbf {Hacha} = \ mathbf {b} [/ matemáticas]

cuál, es lo que la mayoría de las clases de métodos numéricos te enseñan a resolver. Por supuesto, incluso si el problema no fuera lineal, podemos linealizarlo con algo como el método de Newton y aún así resolverlo. Para un problema simple como la ecuación de Poisson, la matriz A es muy fácil de calcular y a menudo se la llama “Matriz de rigidez” en homenaje a los inicios del FEM en problemas de elasticidad. Esta matriz está formada por el producto interno de las funciones básicas con ellos mismos (muy escaso y diagonal dominante si construiste tu problema racionalmente) multiplicado por cualquier constante que esté en tu ecuación original. El vector de solución es una lista de los coeficientes que se multiplican por las funciones básicas, y para trazar su solución y obtener valores reales, debe multiplicar esto por su serie de funciones básicas. Esto proporciona una función (aunque larga y complicada) que aproxima la solución a su problema.

Resumen de matematicas

En resumen, estamos realizando estos pasos:

• Convierta nuestro problema en un problema vectorial usando las propiedades de los espacios de Hilbert
• Cree la formulación débil para que ahora podamos plantear nuestro problema como un producto interno
• Discretice nuestro dominio y elija funciones básicas que no se superpongan elementos
• Convierta nuestro producto interno en un conjunto de ecuaciones lineales
• ¡Resuelve el conjunto lineal de ecuaciones y obtén tu solución!

Ventajas de FEM sobre otros métodos

• Se puede usar en dominios arbitrarios (en contraste con los métodos de diferencias finitas)
• La forma débil incorpora automáticamente “condiciones de contorno naturales” que a menudo no son flujo para problemas de transporte y desplazamiento cero para problemas de elasticidad
• Método computacional extremadamente robusto que es aplicable a un gran número de aplicaciones diferentes.
• El método de elementos finitos se escala bien y, como puede modificar las funciones básicas, puede hacer que su cálculo sea más preciso sin cambiar su malla
• El método de elementos finitos tiende a capturar pequeños detalles en soluciones mejor que los métodos de volúmenes finitos debido a la forma en que la solución se interpola suavemente sobre cada elemento en el FEM. Esto produce una compensación para el modelador porque el FVM a menudo puede ser más eficiente computacionalmente para muchas aplicaciones.
• Esto es parte del último punto, pero debido a su capacidad para resolver detalles finos en la solución, el FEM es a menudo superior para problemas de multifísica donde hay un alto grado de acoplamiento y no linealidad. La ventaja de velocidad de FVM a menudo se pierde, ya que uno debe refinar la malla bastante para capturar con precisión el comportamiento del acoplamiento.

EDITAR – Se corrigieron algunos errores tipográficos

Answer 2

Cualquier problema físico que se resuelva utilizando el método de elementos finitos. se llama Análisis de elementos finitos o análisis realizados utilizando el método de elementos finitos Llamado Análisis de elementos finitos .

El análisis estático, el análisis dinámico, el análisis de choque, el análisis de fatiga son análisis que utilizan ampliamente el método de elementos finitos para resolver los problemas.

El método de elementos finitos es un método moderno (método numérico ) para resolver problemas físicos en aeronáutica, automóvil, biomecánica, civil, electromagnética, mecánica, minera, nuclear, oceánica… .Ingeniería y el campo relevante . Pero, el método de elementos finitos se usa ampliamente para problemas de ingeniería estructural .

El método de elementos finitos y el análisis de elementos finitos implica modelar la estructura usando pequeños elementos interconectados llamados elementos finitos. Este proceso se llama “discretización” o “mallado” .

El método de elementos finitos tiene tres pasos para resolver cualquier problema físico

Verbigracia

1. Preprocesamiento
2. Procesamiento
3. Postprocesamiento

o

1. Definición del problema por modelo de elementos finitos
2. Solución o solución
3. Interpretar los resultados o revisar los resultados.

Estos pasos son seguidos por el cálculo teórico , así como en el enfoque de la industria . Que incluye varios pasos.

1. El preprocesamiento incluye los siguientes pasos

Preprocesamiento que normalmente se denomina modelado de elementos finitos, que es el problema físico que se modelará para resolver utilizando el método de elementos finitos.

El preprocesamiento incluye los siguientes pasos

• Diseño de modelo
• Discretización o mallado
• Selección de elementos.
• Propiedades geométricas (para 1-D, 2-d)
• Selección de material
• Restricciones o condiciones de contorno
• Cargas
• Tipo de análisis

2. Procesamiento o solución

Hay dos enfoques directos generales utilizados en el método de elementos finitos que se aplican a los problemas de la mecánica estructural para obtener la Solución. es decir

1. Método de fuerza o flexibilidad
2. Método de desplazamiento o rigidez

1. Método de fuerza o flexibilidad

Fuerzas internas como las incógnitas del problema. Para obtener las ecuaciones de gobierno, primero se usan las ecuaciones de equilibrio. Entonces se necesitan ecuaciones adicionales introduciendo ecuaciones de compatibilidad. El resultado es un conjunto de ecuaciones algebraicas para determinar las fuerzas redundantes o desconocidas.
Método de desplazamiento o rigidez

2. Método de desplazamiento o rigidez

Desplazamientos de los nodos como incógnitas del problema. Por ejemplo, las condiciones de compatibilidad que requieren que los elementos conectados a un nodo común, junto con un borde común o en una superficie común antes de la carga permanezcan conectados en ese nodo, borde o superficie después de que se produce la deformación se satisfacen inicialmente. Luego, las ecuaciones de gobierno se expresan en términos de desplazamientos nodales utilizando las ecuaciones de equilibrio y una ley aplicable que relaciona las fuerzas con los desplazamientos.

La mayoría de los programas de software de elementos finitos utilizan el método de desplazamiento o rigidez para resolver los problemas.

Durante la fase de solución, el software de elementos finitos ensambla las ecuaciones algebraicas que gobiernan en forma de matriz y calcula los valores desconocidos de las variables de campo primario.

La ecuación es

[k] [u] = [F]

Dónde,

K – Matriz de rigidez a partir de la propiedad del material y la forma geométrica.

u – Los resultados deben calcularse (Desconocido)

F – Fuerza aplicada

Los valores calculados se utilizan luego por sustitución inversa para calcular variables adicionales derivadas.

• Fuerzas de reacción
• Tensiones de elemento
• Flujo de calor

Como es común que un modelo de elementos finitos esté representado por decenas de miles de ecuaciones, se utilizan técnicas de solución especiales para reducir los requisitos de almacenamiento de datos y el tiempo de cálculo.

Postprocesamiento

La evaluación de los resultados de la solución se denomina postprocesamiento. El software de postprocesador contiene rutinas sofisticadas utilizadas para clasificar, imprimir y trazar resultados seleccionados de una solución de elementos finitos.

Diversas operaciones en el postprocesamiento

• Visualización de estructura deformada
• Desplazamientos de magnitud en tres direcciones
• Magnitud de estrés nodal
• Magnitud de la tensión del elemento
• Verificar equilibrio
• Factor de seguridad
• Energía de deformación
• Frecuencia natural
• Amplitud
• Historia del tiempo
• Tensión y tensión térmica.
• Trama deformada forma estructural
• Animar el comportamiento dinámico del modelo
• Produzca gráficos de temperatura codificados por colores

Si bien los datos de la solución se pueden manipular de muchas maneras en el procesamiento posterior, el objetivo más importante es aplicar un criterio de ingeniería sólido para determinar si los resultados de la solución son físicamente razonables.

En general, en la industria FEA, dos términos tienen un uso normal sobre los resultados del análisis:
Basura adentro y basura afuera . El programa de software del método de elementos finitos resolverá la entrada dada. Pero, no puede justificar los resultados.

Lista de software de FEA populares según sus propósitos

Herramientas de preprocesamiento

• ANSA
• HyperMesh
• Patran

Herramientas de procesamiento (solucionadores)

• Abaqus
• ADINA
• Algor
• ANSYS
• COSMOS
• LS-Dyna
• MSC / NASTRAN
• NISA
• Optistruct
• RADIOSS
• SAVIA
• STARDYNE

Herramientas de posprocesamiento

• Hyperview
• µETA

---

Para obtener más información sobre el análisis de elementos finitos (FEA ) Preguntas de la entrevista, trucos de consejos, técnicas de simulación Únase a esta comunidad de profesionales de FEA, siga esta página: FEAIQ

Answer 3

El método de elementos finitos es un tipo de método numérico. Los métodos numéricos en general son métodos que intentan aproximarse mejor a un campo (desplazamiento / velocidad) en un dominio (cuerpo, superficie-3D, plano / región-2D). En términos más simples, trata de encontrar una curva que produzca el menor error en un conjunto dado de ecuaciones (ecuaciones de gobierno y condiciones de contorno).

Para lograr esta aproximación, lo que generalmente hacemos es dividir la región en piezas más pequeñas. Entonces, colocamos algo llamado nodos en todo el cuerpo donde asumimos que las propiedades del cuerpo están agrupadas (como rigidez, inercia, etc.) lo que hace que el cuerpo sea discreto. En este proceso, también estamos aproximando la geometría del cuerpo, ya que es posible que no podamos reproducir las curvas exactas en algunas regiones.

Lo siguiente es llegar al peso para cada uno de estos puntos en el dominio. Esto se supone al proporcionar un área de soporte para cada nodo, es decir, el área que contribuye a la rigidez del nodo. (Más como el método de rigidez)

El método de elementos finitos es una clase de métodos donde esta contribución de cada nodo se obtiene mediante la construcción de pequeños elementos finitos con estos nodos como vértices. Estos se realizan conectando los nodos y construyendo elementos. La estructura obtenida se denomina malla, ya que se asemeja a una malla. Y luego, según la geometría / propiedad local (singularidad, interfaz bimaterial), si alguno de cada elemento que está asociado a un nodo, cada elemento contribuye a un porcentaje del desplazamiento total de ese nodo. Esto se logra asociando ecuaciones llamadas funciones de forma (más como funciones de peso) a cada nodo en cada elemento. El mismo nodo tendrá diferentes funciones de forma en diferentes elementos. Pero la contribución se vuelve errónea cuando su forma cambia a cuadriláteros extraños debido a una deformación excesiva, ya que el nodo debe estar unido al mismo conjunto de elementos (al que estaba asociado inicialmente) en todas las etapas del análisis.

Los métodos sin malla son aquellos en los que se selecciona un área alrededor de cada nodo sin darle una forma prescrita adecuada / discretizando el cuerpo en elementos pequeños. Por lo tanto, incluso si un nodo (punto) se deforma en gran medida, su dominio de soporte puede evaluarse nuevamente ya que los nodos no están unidos a ningún elemento. Así es como es diferente de los métodos de elementos finitos.

Answer 4

Gracias por la A2A, Sadanand Wachche.

El método de elementos finitos es un método numérico para resolver ecuaciones diferenciales parciales o un problema de campo. Un problema de campo es aquel en el que resolvemos la variación espacial de una o más variables dependientes. Digamos, con el análisis de tensión determinamos la variación de tensión o deformación en un cuerpo en voladizo.

El algoritmo básico de FEM se define en los siguientes pasos.

1. Divida la parte o el campo en entidades finitas llamadas elementos finitos que básicamente está en contraste con los elementos infinitesimales que consideramos en el cálculo.

2. Las entidades se denominan elementos y están conectadas entre sí por los nodos. Las conexiones y los elementos juntos se llaman una malla.

Un campo o dominio en malla

3. Si conocemos el valor de una variable en los cuatro nodos de un elemento como se muestra a continuación, aproximamos el valor de la variable en cualquier punto dentro del elemento usando una expresión definida para ese elemento especial (la expresión es principalmente polinómica y se llama la forma o función de interpolación). Definitivamente, la variación en la vida real de la variable dentro del elemento es más compleja, aunque elegimos aproximarla usando una ecuación conocida.

4. La malla es matemáticamente un sistema de ecuaciones para el cual las incógnitas son el valor de las variables dependientes en los nodos.

5. Las ecuaciones se resuelven ahora y a partir de los valores nodales de las variables dependientes podemos determinar el valor de las mismas en todo el elemento utilizando las funciones de forma. Por lo tanto, tenemos una aproximación por partes de la variación espacial de las variables dependientes sobre el campo.

Ahora, el número de ecuaciones es muy grande para un sistema de la vida real para el que queremos analizar algunas variables como el estrés o la deformación. Por lo tanto, necesitamos una computadora y algoritmos eficientes para hacer análisis de elementos finitos.

FEM es principalmente un método matemático / numérico para resolver ecuaciones diferenciales parciales. Para comprender cómo las matemáticas subyacentes ayudan a resolver problemas físicos, es muy importante aprender la teoría junto con la aplicación práctica de los problemas físicos.

Editar # 1
____________________________________________________

La respuesta de Jeff H Peterson a esta misma pregunta proporciona un fondo matemático lúcido pero riguroso para el método de elementos finitos y cómo funciona en segundo plano. Lee eso. No puedo enfatizar lo suficiente sobre la importancia de tener esta sensación matemática sobre FEM al resolver problemas específicos de cualquier dominio. Porque las herramientas son tontas y tan buenas como tú .
____________________________________________________

Para una breve introducción sobre cómo comenzar a aprender FEM, mire la siguiente respuesta.

La respuesta de Mukunda Madhava Nath al análisis de elementos finitos: ¿Cuáles son algunos buenos libros para aprender el análisis de elementos finitos?

PD: Esta publicación necesita una cantidad sustancial de edición, gráficos e ilustraciones que voy a agregar muy pronto.

Answer 5

En primer lugar, NUNCA debe intentar explicar conceptos básicos. asumiendo que alguien es un estudiante universitario .

Mira este:

Fuente de imagen

No me importa quiénes sean tus amigos; si al principio no tienen miedo de mirar algo así, no son normales.

Y si tus amigos son como yo, no importa lo que digan los guiones de esa página. No importa cuán atractivo sea el resultado final. Realmente no importa cuán interesante se vuelva cuando realmente puedas leer y comprender esas ecuaciones, y tampoco importa cuán orgulloso estarías de ti mismo una vez que hayas escrito páginas llenas de esa basura de aspecto aterrador. Todo lo que importa, en ese primer vistazo, es lo fácil que parece ser.

Entonces, mi pregunta es, independientemente del nivel de educación de tus amigos, ¿por qué los inundarías con una fórmula inútil al principio?

Entonces, la solución: no asumes que tu amigo es un estudiante universitario. Suponga que él / ella tiene 15 años y quiere saber qué hace. Tu trabajo es captar su interés. Más tarde, si están lo suficientemente interesados, son lo suficientemente inteligentes como para perseguir FEM. Si les cuentas la historia, ellos querrán ser parte de ella.

La siguiente pregunta que surge es: ¿Cómo se explica el maldito FEM a un joven de 15 años?

¡Lo explicas diciéndoles que FEM es la única técnica que está por encima de todas! Una técnica para gobernarlos, una técnica para encontrarlos. ¡Una técnica para atraerlos a todos y atarlos en la oscuridad!

Continúa dividiendo la técnica en 3 partes importantes:

• Por qué
• Cuando
• Cómo

Por qué: si tomas un palo y lo doblas, se rompe en el medio. Podemos predecir esto usando el método llamado FEM, sin pasar realmente por el proceso de romper el palo real. Es un método realmente inteligente, que supone que el palo está formado por muchos palos más pequeños, y luego vemos cuál de estos palos es probable que se rompa. Utilizamos los mismos conceptos para ver dónde se romperá su iPhone al caer, y dónde se romperá un automóvil cuando se estrelle. Entonces podemos usar estos datos para reforzar estos cuerpos en estas partes y garantizar la seguridad del cuerpo y de las personas.

Cuándo: FEM ocurre justo en el punto óptimo entre el diseño y el lanzamiento. Los diseñadores siempre quieren que el cuerpo sea lo más ligero posible. Quieren que el cuerpo se simplifique, y quieren que se vea sexy. Tienen una obra de arte en mente, pero ese arte es, la mayoría de las veces, poco práctico para el uso diario. Aquí es donde entra una chica de FEA y ayuda con su inmenso conocimiento.

Cómo – Ella analiza el diseño del cuerpo. Ella quiere entender qué material ha utilizado un diseñador y por qué. Puede obligar al diseñador a cambiar el material, la forma o incluso todo el cuerpo. Ella hace un análisis y descubre qué fuerzas se aplican en qué puntos del cuerpo y cómo pueden dar lugar a la concentración de tensiones en ciertos puntos. Ella puede hacer lo mismo al no asumir el cuerpo como un conjunto de cuerpos más pequeños con fuerzas que se propagan de un cuerpo a otro (como un dominó), sino como un cuerpo continuo unido por fuerzas atómicas, pero luego está desperdiciando inútilmente el poder informático y hora. Ella puede, en la mayoría de los casos, simplificar mucho el modelo y luego simplemente configurar la visualización posterior al análisis para que se muestre como gradientes.

La ruptura del cuerpo en partes más pequeñas se denomina mallado. Las partes más pequeñas utilizadas en el cuerpo se llaman elementos. El darse cuenta de qué parte es probable que se rompa puede ser un análisis de pandeo / propagación de grietas / falla. El análisis del material utilizado es más o menos un análisis de material, donde cada material recibe un conjunto de propiedades mecánicas en lugar de preocuparse por sus fuerzas atómicas. La aplicación de las cargas en el cuerpo se realiza mediante la prueba de la condición límite, y la visualización y comprensión de los resultados es posterior al procesamiento. También se pueden usar las mismas técnicas para hacer análisis de resonancia, análisis de frecuencia, fatiga, fluencia y una docena de otros análisis.

¡Una técnica que se puede usar para hacer un automóvil, un jet, un motor, un tornillo, plásticos, papel e incluso las interacciones entre estos diferentes cuerpos!

---

¿Capté tu interés lo suficiente como para intentar aprender FEM? ¿Cómo haces eso? Te sugiero que veas los recursos más simples para comenzar. Tome conferencias gratuitas, obtenga conocimientos gratuitos (e invaluables) y pruebe sus simulaciones FEM iniciales de forma gratuita. ( Puede ser diferente, pero mi filosofía general en la vida es: Siempre que sea posible, pruebe las cosas gratis primero, vea si las amo lo suficiente y luego, si veo que valen la pena, pague por ellas). Más tarde, si usted gusta, siempre puedes intentar hacer cosas más difíciles.

Aquí hay un recurso gratuito para comenzar: SimScale Academy

Y un blog FEM gratuito y fácil.

Y también, para leer todo esto: aquí hay una cookie. ¡Lo merecías!

Enlace de imágen

Answer 6

El análisis de elementos finitos, que utiliza el método de elementos finitos (FEM), es un producto de la era digital, que se destacó con el advenimiento de las computadoras digitales en la década de 1950. Sigue a partir de métodos de matriz y métodos de análisis de diferencias finitas, que se habían desarrollado y utilizado mucho antes de este tiempo. Es una herramienta de análisis basada en computadora para simular y analizar productos y sistemas de ingeniería. FEA es una utilidad de diseño de ingeniería extremadamente potente, pero que debe usarse con mucho cuidado. Por ejemplo, es posible integrar un sistema con software de diseño asistido por computadora, lo que lleva a un tipo de análisis de botón no informado en el proceso de diseño. Desafortunadamente, se pueden cometer errores colosales con solo presionar un botón, como esta advertencia deja en claro. En resumen, la persona más calificada para realizar un FEA es alguien que podría hacer el análisis sin FEA.
Palabras sabias, resistiendo la tentación de confiar demasiado en las aplicaciones informáticas de FEA. Sin embargo, si las simulaciones basadas en computadora se configuran y usan correctamente, se pueden resolver modelos matemáticos muy complicados en una medida suficiente para proporcionar a los diseñadores información precisa sobre cómo funcionarán los productos en la vida real, en términos de poder llevar a cabo o mantener las condiciones de operación impuestas sobre ellos. Los modelos de simulación se pueden cambiar, modificar y adaptar para adaptarse a las diversas condiciones operativas conocidas o anticipadas, y las soluciones se pueden optimizar. Por lo tanto, los diseñadores pueden estar seguros de que los productos reales deberían funcionar de manera eficiente y segura, y pueden fabricarse de manera rentable. Algunas razones más detalladas se dan a continuación.
Las simulaciones son de sistemas de campo continuo sujetos a influencias externas mediante las cuales una variable, o combinación de variables dependientes, se describe mediante ecuaciones matemáticas integrales.

Ejemplos incluyen:

• Estrés
• Presion
• Presión de fluido
• Transferencia de calor
• Temperatura
• Vibración
• Propagación de sonido
• Campos electromagnéticos
• Cualquier interacción acoplada de lo anterior.

Para ser más específicos, el FEM puede manejar problemas que posean cualquiera o todas las características siguientes.

• Cualquier problema matemático o físico descrito por las ecuaciones de cálculo, por ejemplo, ecuaciones diferenciales, integrales y variacionales.
• Problemas de valor límite (también llamados problemas de equilibrio o de estado estacionario); Problemas propios (resonancia y fenómenos de estabilidad); y problemas de valor inicial (difusión, vibración y propagación de ondas).
• El dominio del problema (por ejemplo, la región del espacio ocupado por el sistema) puede tener cualquier forma geométrica, en cualquier cantidad de dimensiones. Las geometrías complicadas son tan sencillas de manejar como las geometrías simples, con la única diferencia de que las primeras pueden requerir un poco más de tiempo y gastos. Por ejemplo, una geometría bastante simple sería la forma de una guía de ondas cilíndrica circular para ondas acústicas o electromagnéticas (fibra óptica). Una geometría más complicada sería la forma de un chasis de automóvil, que tal vez se esté analizando en busca de las tensiones dinámicas inducidas por una superficie irregular de la carretera.
• Las propiedades físicas (por ejemplo, densidad, rigidez, permeabilidad, conductividad) también pueden variar en todo el sistema.
• Las influencias externas, generalmente denominadas cargas o condiciones de carga, pueden tener cualquier forma físicamente significativa, por ejemplo, fuerzas, temperaturas, etc. Las cargas se aplican típicamente a los límites del sistema (condiciones de límites), al interior del sistema. (cargas interiores) o al comienzo del tiempo (condiciones iniciales).
• Los problemas pueden ser lineales o no lineales. Para tener una idea de algunas de las ventajas y capacidades más comunes de la FEM,

¿Por qué hacer análisis de elementos finitos?
(Baguley y Hose, 1994). NAFEMS, anteriormente la Agencia Nacional de Métodos y Estándares de Elementos Finitos, es una asociación independiente e internacional para la comunidad de análisis de ingeniería y es la autoridad en todos los aspectos de FEA. En su opinión, la simulación ofrece muchos beneficios, si se usa correctamente.
Las ventajas más comunes incluyen:

• Rendimiento y costo optimizados del producto.
• Reducción del tiempo de desarrollo.
• Eliminación o reducción de las pruebas.
• Logro por primera vez de la calidad requerida
• Seguridad mejorada
• Satisfacción de los códigos de diseño.
• Información mejorada para la toma de decisiones de ingeniería.
• Comprensión más completa de los componentes que permite un diseño más racional.
• Satisfacción de los requisitos legales y contractuales.

Principios básicos

Los principios básicos que subyacen a la FEM son relativamente simples. Considere un cuerpo o componente de ingeniería a través del cual se requiere la distribución de una variable de campo, por ejemplo, desplazamiento o tensión. Los ejemplos podrían ser un componente bajo carga, temperaturas sujetas a una entrada de calor, etc. El cuerpo, es decir , un sólido de una, dos o tres dimensiones , está modelado como hipotéticamente subdividido en un conjunto de pequeñas partes llamadas elementos : ‘finito elementos’. La palabra ‘finito’ se utiliza para describir el número limitado o limitado de grados de libertad utilizados para modelar el comportamiento de cada elemento. Se supone que los elementos están conectados entre sí, pero solo en las uniones interconectadas, conocidas como nodos . Es importante tener en cuenta que los elementos son regiones teóricamente pequeñas, no entidades separadas como ladrillos, y que no hay grietas ni superficies entre ellos. (Hay sistemas disponibles que modelan materiales y estructuras que comprenden elementos discretos reales como ladrillos de mampostería reales, mezclas de partículas, granos de arena, etc., pero estos están fuera del alcance de este curso).
El conjunto completo, o conjunto de elementos, se conoce como una malla . El proceso de representar un componente como un conjunto de elementos finitos, conocido como discretización, es el primero de muchos pasos clave para comprender la FEM del análisis. En la Figura 1 se ilustra un ejemplo. Este es un componente tipo placa modelado con una serie de elementos en su mayoría rectangulares (ish) con un grosor uniforme (en la página o pantalla) que podría ser, digamos, 2 mm.

La variable de campo, por ejemplo, la temperatura, probablemente se describe en todo el cuerpo mediante un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales que son imposibles de resolver matemáticamente. En cambio, suponemos que la variable actúa a través o sobre cada elemento de una manera predefinida, otro paso clave para comprender el método. Esta variación asumida puede ser, por ejemplo, una distribución de función constante, lineal, cuadrática o de orden superior. Esto puede parecer un poco de libertad, pero puede ser sorprendentemente cercano a la realidad.
Las principales etapas en la creación de cualquier modelo de elementos finitos, según Baguley y Hose (1997), para la mayoría de los tipos de análisis son:

• Selección del tipo de análisis.
• Idealización de las propiedades del material.
• Creación de geometría de modelo.
• Aplicación de soportes o restricciones.
• Aplicación de cargas
• Optimización de soluciones.

Es extremadamente importante:

• Desarrollar una idea del comportamiento de la estructura.
• Evaluar la sensibilidad de los resultados a las aproximaciones de los distintos tipos de datos.
• Desarrollar una estrategia general para la creación del modelo.
• Compare el comportamiento esperado de la estructura idealizada con el comportamiento esperado de la estructura real

Answer 7

[Esta es una pregunta muy antigua que me encontré hace mucho tiempo y encontré muy bien respondida por mucha gente antes que yo. Finalmente, después de tomar dos cursos diferentes y mientras escribía un código FE, obtuve un A2A para esto. Así que lo intentaré, por el simple hecho de dejar mis pensamientos en paz. No usaré las matemáticas en absoluto, debes profundizar en ellas por ti mismo si realmente quieres apreciar los matices de FEA.]

La base:

Estudiamos la mecánica de sólidos continuos para predecir el comportamiento de las cosas dadas las cargas predefinidas, las restricciones, por ejemplo , ¿se doblará el eje al par X? ¿Se romperá el teléfono celular si salto sobre él? Las ecuaciones constitutivas forman un vínculo entre las condiciones predefinidas y nuestra predicción.

Ahora, el principio básico de la mecánica de Continuum es que los fragmentos de material que observamos son continuos. O eso podemos suponer para todos los fines prácticos. Por lo tanto, no hay vacíos y las cargas y desplazamientos aplicados propagan sus efectos de manera continua. Por ahora podemos adivinar fácilmente que, como predicen campos continuos, las relaciones constitutivas son ecuaciones continuas. Además, dado que incluyen diferenciales en área / volumen, por ejemplo , la deformación es derivada del desplazamiento, las ecuaciones constitutivas son ecuaciones diferenciales parciales continuas. Entonces, para predecir cómo se comportan las cosas, necesitamos resolver ecuaciones diferenciales.

El marco:

Ahora que tenemos ecuaciones diferenciales, todo lo que tenemos que hacer es resolverlas. Pero resolver ecuaciones diferenciales no es tarea fácil. A veces, simplemente no hay forma de resolver las ecuaciones y en la mayoría de los casos complejos las ecuaciones son muy complejas para resolverlas.

Entonces, ¿qué podemos hacer? Podemos usar computadoras (básicamente un código) para hacerlo por nosotros. Pero las computadoras no entienden las funciones continuas, es demasiado abstracto para ellas. Sin embargo, son muy buenos números crudos crujientes. Entonces, si hay una manera de convertir ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas, sería genial. Afortunadamente, hay una forma llamada Discretización. Esto se puede lograr en nuestro caso dividiendo el dominio en pequeños elementos que están interconectados mediante nodos. Ahora, cada nodo representa una cantidad desconocida.

La conversión de la ecuación diferencial parcial continua en la denominada forma débil en un sistema discreto de ecuaciones es el quid del método de elementos finitos. Al hacerlo, hemos reducido el problema de encontrar una solución de ecuación diferencial en un número infinito de puntos a encontrar soluciones de ecuación algebraica en un número finito de nodos que forman los elementos que construyen el dominio. De ahí el nombre, Método de elementos finitos. Una vez que se obtiene la solución nodal, se puede interpolar dentro de los elementos mediante el uso de funciones de interpolación llamadas funciones de forma.

Algunas advertencias:

Lo que dije es una generalización muy amplia desde la perspectiva de los ingenieros. FEA es esencialmente un método matemático y Courant, cuyo trabajo seminal lo inició todo, era matemático. Finalmente, la gente se dio cuenta de su aplicación a la mecánica y comenzó a desarrollar el método aún más.

Me he saltado muchas cosas como la derivación de la matriz de rigidez, las funciones de forma, etc. porque realmente necesitamos entrar en matemáticas para apreciar su importancia. Esto tiene el único objetivo de dar una vista de pájaro a un principiante que está escuchando sobre FEA por primera vez.

Mucha suerte y que la fuerza te acompañe.

Answer 8

El análisis de elementos finitos es en realidad una aplicación de las matemáticas en la ingeniería mecánica.

En el análisis mecánico básico, consideramos todo el cuerpo como una entidad única y le aplicamos todas las leyes básicas de conservación (energía, momento y masa) para encontrar propiedades como la fuerza, el estrés, etc.

En el análisis de elementos finitos, dividimos el cuerpo en infinitas divisiones (llamadas mallas) y aplicamos las mismas leyes que en el caso anterior para obtener las propiedades en cada malla.

En el cálculo básico, a medida que disminuye la cantidad “dx”, la diferencia tiende a ser diferencial y el valor diferencial es más preciso que la diferencia. ¿Derecho?

Del mismo modo, FEA puntúa sobre el análisis mecánico básico en precisión. El software (por ejemplo, ANSYS) se utiliza básicamente como un solucionador para resolver todas las ecuaciones obtenidas de las mallas.

Hacerlo manualmente será engorroso, pero ciertamente es posible.

Espero haber respondido la consulta.

Answer 9

Tengo la sensación de que estás en segundo o tercer año de tu universidad.

De todos modos, dado que ya he aprobado este curso en la universidad con una calificación decente (en mi octavo semestre), quizás pueda contarte al respecto de una manera muy clara. Aquí está la definición:

El método de elementos finitos ( FEM ) es una técnica numérica para encontrar soluciones aproximadas a problemas de valores límite para ecuaciones diferenciales parciales. También se conoce como análisis de elementos finitos ( FEA ). FEM subdivide un gran problema en partes más pequeñas y simples, llamadas elementos finitos. (que también se llama discretización ).

Las ecuaciones simples que modelan estos elementos finitos se ensamblan en un sistema más grande de ecuaciones que modela todo el problema. FEM luego utiliza métodos variacionales del cálculo de variaciones para aproximar una solución minimizando una función de error asociada.

Así es como se ve un análisis FEM:

¡Observe la discretización por pequeños elementos triangulares finitos!

En épocas anteriores, cuando no había software como el que tenemos hoy (Ansys, Hyperworks, etc.), los investigadores solían resolver problemas complejos (especialmente problemas relacionados con SOM, térmicos y fluidos) con la ayuda de FEM. La investigación continua en este campo condujo a los paquetes de software. Entonces, lo que sea que estudiemos sobre FEM en la universidad (básicamente cómo crear ecuaciones, dividir la estructura en elementos finitos y otras cosas), eso es lo que ocurre en el fondo de estos paquetes de software. Entonces, ¿básicamente respondiendo a su pregunta de si podría hacerse manualmente? Por supuesto, podemos (literalmente jadeaba en los exámenes escribiendo y derivando ecuaciones largas y resolviendo números numéricos monstruosos). Es engorroso Para nuestro rescate, por lo tanto, tenemos paquetes FEM 🙂 (aunque primero tenemos que pasar por los conceptos básicos de FEM (teoría) porque el mal uso y el uso incorrecto son bastante comunes).

Es un punto positivo estudiar los conceptos básicos de FEM antes de comenzar a aprender softwares de alta gama como ANSYS porque sin eso solo aprenderás comandos, no los conceptos. Por lo tanto, un software es solo una caja negra si no comprende lo que sucede detrás del software.

Aquí hay una referencia de libro para este interesante tema: Introducción a la ingeniería de elementos finitos por Chandru Patla y A.belugundu (muy fácil y te enseña lo básico).

¡Podría explicarte todo sobre FEM aquí mismo, pero confía en mí, no obtendrás nada a menos que abras este libro y comiences a aprender por ti mismo!

¡Feliz aprendizaje!

-PEC graduado en Mech Engg.

Answer 10

FEA básicamente es

Un método de aproximación para analizar una solución infinita compleja dividiéndola en una serie de soluciones finitas discretas más simples.

un ejemplo divertido que me ayuda a explicar esto me pasó en la universidad
Tan pronto como comenzó la universidad, los jóvenes fueron llamados a nuestras habitaciones para ser harapientos. les había pedido a algunos de mis juniors 2 que midan la longitud del lobby de nuestro albergue
usando los palillos que les había dado a cada uno,

cuando la mayoría de ellos comenzaron a quejarse, contando de un extremo al otro.
un asno inteligente midió la longitud de un azulejo usando el palillo de dientes y lo multiplicó por el no de azulejos en el vestíbulo ,
es decir
1) Tomando la gran tarea de encontrar el área del lobby,
2) Descomponiéndolo para encontrar el área de una sola ficha y luego
3) Interpolarlo para obtener una solución más rápida. incluso si es una solución aproximada.

---

espero que entiendas la declaración resaltada ahora

PD. ¡Tengo que decir que ese tipo merecía un premio por pensar lateralmente incluso cuando estaba rodeado de personas mayores aterradoras …!

Answer 11

Responde tus preguntas una por una:

¿Es una rama de la ingeniería mecánica o las matemáticas?

Ambos: generalmente se consideran matemáticas aplicadas fusionadas con ingeniería “mecánica” (aunque tanto la ingeniería civil como la aeroespacial también la emplean)

¿Se puede hacer manualmente sin software?

Sí puede. Sin embargo, las matemáticas se vuelven demasiado elaboradas para hacerlo manualmente. FEA crea rápidamente (incluso para un pequeño problema) matrices bastante grandes. A menudo, durante la instrucción, los sistemas muy pequeños (de unos pocos grados de libertad) pueden resolverse manualmente, pero incluso para sistemas muy modestos, las matemáticas se vuelven demasiado engorrosas sin algún programa numérico (incluso si se trata simplemente de scripts de Matlab o Excel).

¿Es necesario conocerlo manualmente para aprender software como ANSYS?

No es obligatorio, pero creo que es sumamente importante que alguien tenga exposición a la teoría antes de usar ANSYS u otro software similar; si uno no entiende la teoría, el uso incorrecto es bastante común.

¿Qué es exactamente ANSYS? Es un software para hacer FEA usando una computadora ¿verdad?

ANSYS es simplemente un paquete de software comercial de FEA. Es uno de los códigos principales. En esencia, los códigos comerciales (ANSYS, Abaqus, Nastran, otros) son básicamente programas que primero crean entradas de matriz basadas en la información mecánica proporcionada y luego resuelven estas matrices resultantes en una escala masiva: son “calculadoras con esteroides”.

Para más detalles, aquí está mi respuesta a la pregunta de “nivel superior” que planteó, sin las subpreguntas:

La respuesta de Brad Heers a ¿Qué es exactamente el análisis de elementos finitos? ¿Cómo se explicaría el concepto básico a un amigo de pregrado?

Answer 12

La mejor manera de aprender cualquier concepto nuevo es entenderlo en el sentido de “laico”. Para un estudiante universitario o un nivel un poco más bajo, quiero explicar lo siguiente:

Cada problema físico tiene algunas ecuaciones diferenciales asociadas. Algunas de esas ecuaciones diferenciales pueden resolverse exactamente y otras no (debido a la falta de disponibilidad de métodos generalizados). Por lo tanto, necesitamos algunos métodos que nos puedan dar al menos una idea “aproximada” sobre la naturaleza de la solución (solución aproximada). En general, estas técnicas se denominan métodos numéricos. Las técnicas más famosas a nivel introductorio son los métodos de diferencias finitas (FDM). Como todos los métodos tienen algunas limitaciones, FDM también lo tiene. Para problemas estructurales, especialmente (pero no limitado; FEM tiene una amplia aplicación en casi todos los dominios) el Método de Elementos Finitos (FEM) entró en escena. La estrategia principal para resolver cualquier ecuación diferencial por FEM es:

1. Discretiza el dominio. Cada parte del dominio (subdominio) se denomina elemento y, dado que son finitos en números, de ahí que el nombre sugiera un elemento finito.
2. Luego usamos el concepto de función base para evaluar el problema en cada subdominio y después de esto fusionamos todos juntos para formar un sistema de ecuaciones.

Eso es lo básico de FEM para un estudiante de pregrado. Espero que uno pueda entenderlo. ¡Buena suerte!

Answer 13

Siempre me ha gustado un desarrollo intuitivo para el análisis de elementos finitos. Me centraré en las estructuras, aunque puede aplicarse a otros campos.

Si tomo una barra (visualmente una barra que solo puede alargarse o acortarse), puedo medir su rigidez y establecer una ecuación de desviación de fuerza:

F = K u

Ahora tome tres barras y fíjelas en los extremos: hemos creado una estructura de armadura simple.

Si ajusto la rigidez (K) de las varillas, intuitivamente podría hacer que el truss se comporte de manera similar a un material de la misma forma.

Y si conecto muchas de estas estructuras de celosía, puedo:

1) asignarlos a una amplia variedad de formas 2D

3) Puedo resolver sistemáticamente los sistemas usando álgebra matricial

Ahora estire un material de globo plateado sobre la verdadera estructura para que parezca sólido.

De hecho, esto es aproximadamente cómo se desarrolló el método de elementos finitos.

Las varillas no plegables son una función de base simple (en este caso, una función de base lineal).

La estructura de celosía es el elemento finito más primitivo: un simple triángulo de tres nodos.

Y si miras el primer libro de Zienkiewicz, esto se aproxima a cómo desarrolla el procedimiento.

Answer 14

El análisis de elementos finitos es una técnica numérica. En este método, todas las complejidades de los problemas, como la forma variable, las condiciones de contorno y las cargas, se mantienen como están, pero las soluciones obtenidas son aproximadas. Debido a su diversidad y flexibilidad como herramienta de análisis, está recibiendo mucha atención en ingeniería. Las rápidas mejoras en la tecnología del hardware de la computadora y la reducción del costo de las computadoras han impulsado este método, ya que la computadora es la necesidad básica para la aplicación de este método. Una serie de paquetes populares de análisis de elementos finitos están ahora disponibles comercialmente. Algunos de los paquetes populares son STAAD-PRO, GT-STRUDEL, NASTRAN, NISA y ANSYS. Usando estos paquetes uno puede analizar varias estructuras complejas.

El análisis de elementos finitos se originó como un método de análisis de tensiones en el diseño de aeronaves. Comenzó como una extensión del método de matriz de análisis estructural. Hoy en día, este método se utiliza no solo para el análisis en mecánica de sólidos, sino incluso en el análisis de flujo de fluidos, transferencia de calor, campos eléctricos y magnéticos y muchos otros. Los ingenieros civiles utilizan este método ampliamente para el análisis de vigas, marcos espaciales, placas, conchas, placas plegadas, cimientos, problemas de mecánica de rocas y análisis de filtración de fluidos a través de medios porosos.

Tanto los problemas estáticos como los dinámicos se pueden manejar mediante análisis de elementos finitos. Este método se usa ampliamente para el análisis y diseño de barcos, aeronaves, naves espaciales, motores eléctricos y motores de calor.

Los siguientes pasos se realizan para el análisis de elementos finitos.

1. Discretización del continuo: el continuo está dividido en varios elementos por líneas o superficies imaginarias. Los elementos interconectados pueden tener diferentes tamaños y formas.

2. Identificación de variables: se supone que los elementos están conectados en sus puntos de intersección denominados puntos nodales. En cada nodo, se deben prescribir desplazamientos desconocidos.

3. Elección de funciones aproximadas: la función de desplazamiento es el punto de partida del análisis matemático. Esto representa la variación del desplazamiento dentro del elemento. La función de desplazamiento puede ser aproximada en forma de una función lineal o una función de orden superior. Una forma conveniente de expresarlo es mediante expresiones polinómicas. La forma o geometría del elemento también puede ser aproximada.

4. Formación de la matriz de rigidez del elemento: después de que el continuo se discretiza con las formas deseadas del elemento, se formula la matriz de rigidez del elemento individual. Básicamente es un procedimiento de minimización, cualquiera sea el enfoque adoptado. Para ciertos elementos, la forma implica una gran cantidad de sofisticación. La geometría del elemento se define en referencia al marco global. La transformación coordinada debe hacerse para los elementos donde sea necesario.

5. Formación de la matriz de rigidez general: después de que se forman las matrices de rigidez de elementos en coordenadas globales, se ensamblan para formar la matriz de rigidez general. El ensamblaje se realiza a través de los nodos que son comunes a los elementos adyacentes. La matriz de rigidez general es simétrica y con bandas.

6. Formación de la matriz de carga de elementos: la carga forma un parámetro esencial en cualquier problema de ingeniería estructural. La carga dentro de un elemento se transfiere en los puntos nodales y se forma una matriz de elementos consistente.

7. Formación de la matriz de carga general: al igual que la matriz de rigidez general, las matrices de carga de elementos se ensamblan para formar la matriz de carga general. Esta matriz tiene una columna por caso de carga y es un vector de columna o una matriz rectangular, dependiendo del número de casos de carga.

8. Incorporación de condiciones límite: Las condiciones de restricción límite deben imponerse en la matriz de rigidez. Hay varias técnicas disponibles para satisfacer las condiciones de contorno. Una es que el tamaño de la matriz de rigidez puede reducirse o condensarse en su forma final. Para facilitar el aspecto de la programación informática e incorporar elegantemente las condiciones de contorno, el tamaño de la matriz general se mantiene igual.

9. Solución de ecuaciones simultáneas: los desplazamientos nodales desconocidos se calculan mediante la multiplicación del vector de fuerza con el inverso de la matriz de rigidez.

10. Cálculo de tensiones o resultantes de tensiones: los desplazamientos nodales se utilizan para el cálculo de tensiones o resultantes de tensiones. Esto puede hacerse para todos los elementos del continuo o puede estar limitado a algunos elementos predeterminados. Los resultados también se pueden obtener por medios gráficos. Puede ser conveniente trazar los contornos de la forma deformada del continuo.

Answer 15

Hay muchas respuestas a esta pregunta, pero este artículo merece otra: si desea conocer los errores comunes en FEA y cómo puede evitarlos, definitivamente desea leer esto: Errores en FEA y entender las singularidades.

Además, es posible que también desee leer este artículo: ¿Qué es el método de elementos finitos?

Answer 16

Creo que está preguntando sobre el método de elementos finitos (FEM) para el que se dieron muchas respuestas.

El ‘análisis’ de elementos finitos (FEA), por otro lado, es la matemática detrás de FEM y las justificaciones de que FEM realmente funciona o no en el problema subyacente.

FEA involucra teorías matemáticas pesadas como ‘Análisis funcional’, convergencia de secuencias de las soluciones aproximadas a medida que se refina el tamaño de la malla o las funciones de prueba, orden de convergencia que indica qué tan rápido alcanza la aproximación cerca de la solución verdadera, etc.

Aunque FEM surgió de la ingeniería, es FEA quien lo valida.

Hay problemas (p. Ej., Vibración acoplada Shell-Acústica) en los que FEM falla para ciertas opciones de funciones de prueba.

FEA se encuentra principalmente en cursos de posgrado o de nivel superior.

Answer 17

El análisis de elementos finitos se usa para obtener soluciones a ecuaciones diferenciales.

Una ecuación diferencial insoluble se convierte en un conjunto de ecuaciones solucionables simples. El problema es que el número de ecuaciones “solucionables simples” es demasiado grande para ser resuelto en un tiempo razonable y sin ningún error por parte de los humanos. Por lo tanto, la teoría fue desarrollada En el pasado, no se prestó especial atención HASTA la llegada de las computadoras a la escena.

Answer 18

Las técnicas de elementos finitos requieren que todo el volumen de la configuración sea mallado en oposición a las técnicas integrales de superficie, que solo requieren que las superficies se hayan mallado. Sin embargo, cada elemento de malla puede tener propiedades de material completamente diferentes de las de los elementos vecinos. En general, las técnicas de elementos finitos son excelentes para modelar configuraciones no homogéneas complejas. Sin embargo, no modelan problemas de radiación ilimitados tan efectivamente como las técnicas de método de momento.
https://srventech.wordpress.com/ …

Answer 19

Primero, ¿está este amigo de pregrado después de una especialización intensiva en matemáticas? Si es así, utilice la explicación de Jeff H Peterson, Mukunda Madhava Nath o Don Rolph. De lo contrario, hágalo simple y, como dijo Joel John, simplemente descríbalo como un patio de ladrillos con curvas, y en lugar de medir el área del patio, mide el área de un ladrillo y luego cuenta los ladrillos, y su respuesta será lo suficientemente cercana como para El área real. Y en el caso de que no haya ladrillos, haces un patrón de ladrillos y cuentas los cuadrados. Eso debería satisfacer a cualquiera que realmente no quiera estudiar las matemáticas detrás de la discretización lineal de funciones multidimensionales.

Answer 20

FEM es una técnica matemática para resolver tensiones complejas. Bajo tensión principal, todos los metales se alargan o contraen como el resorte, por lo que hace que un módulo de Youngs sea análogo al resorte constante. Desarrollamos varias ecuaciones lineales y resolvemos usando matrices

Dado que, en el mundo real, tratamos con tensores de tensión complicados, necesitamos usar una herramienta de programación lineal como matlab.

En las industrias, no puede perder el tiempo para realizar cálculos y analizar resultados, por lo que surgieron herramientas más fáciles de usar, como ANSYS, que tienen efectos multicolores, etc.