Enseñanza del cálculo: ¿cuáles son los pros y los contras de la enseñanza del lenguaje épsilon-delta desde el principio?

Answer 1

Yo iría con ambos enfoques en paralelo. Ciertamente ayuda si no solo da una definición / prueba formal de épsilon-delta, sino que también ilustra la idea principal al dar una explicación de alto nivel y / o un ejemplo.

El peligro de comenzar solo con definiciones y explicaciones de alto nivel es que, en el cálculo, a menudo importan pequeños detalles. Por ejemplo, durante mucho tiempo parecía que las funciones continuas tenían que ser diferenciables, excepto en un conjunto de puntos aislados. Intuitivamente, esto parece perfectamente correcto: si imagina que está dibujando el gráfico de una función continua, tendrá algunos puntos en los que cambia de dirección, pero en todas partes entre esos puntos la función tiene que ser diferenciable, ¿verdad?

Incorrecto. Pero no se preocupe, este problema dejó perplejos a los matemáticos durante bastante tiempo. El primer contraejemplo publicado, la función Weierstrass, data de 1872.

Trama del usuario de Wikimedia Eeyore22, en dominio público.

Los casos difíciles como este realmente son excelentes ejemplos para usar al explicar por qué es importante prestar atención a los detalles formales.

Answer 2

Depende del rigor / exposición de fondo o requisitos previos similares para una intuición de lo que está sucediendo.

Nadie entiende el punto de [matemáticas] \ epsilon [/ matemáticas], sin comprender el significado conceptual de los conjuntos de Cantor.

Lo mismo ocurre con la convergencia de aprendizaje, sin una idea (si no práctica) de topología algebraica o anti-derivados sin FTC.

En general, aprender a usar la herramienta sin conocer la motivación, el formalismo o los axiomas detrás de ellos.

PD: En una nota ligeramente no relacionada, los operadores en el cálculo vectorial sin transformaciones lineales sobre espacios y sus representaciones matriciales.

Answer 3

En general, las pruebas [matemáticas] \ epsilon- \ delta [/ matemáticas] no son extremadamente complejas a menos que estén involucradas las funciones trascendentales .

Sin cálculo, es difícil establecer una buena definición que permita demostrar lo que significa [math] \ sin {x} [/ math]. Pero para polinomios, funciones racionales y raíces, no es más difícil que algunos (más bien complejos) álgebra de secundaria. Las pruebas son estimaciones numéricas de cuán precisas son las aproximaciones (fórmulas de Newton para derivadas, sumas para integración). Estos son extremadamente útiles en ingeniería cuando los formularios cerrados no están disponibles para integrar muchas funciones de interés.

En el caso en cuestión, se espera que sepa que [math] \ forall {x} -1 \ le \ sin {x} \ e 1 [/ math] y, por lo tanto, [math] \ forall {x} \ lvert \ sin { x} \ rvert \ le 1 [/ math] y por implicación [math] \ forall {x} \ ne 0, \ lvert \ sin {\ frac {1} {x}} \ rvert \ le 1 [/ math]