Esto depende de un par de cosas: primero, las condiciones que desea en sus funciones (¿deben ser continuas? ¿Suaves? ¿Analíticas?) Y, en segundo lugar, el locus cero de f .
Entonces, primero, supongamos que f y g son analíticas. Configurando x = y , vemos que
[matemáticas] 2 f (x, x) g (x, x) = 0 [/ matemáticas]
para todo x, o en otras palabras
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[matemáticas] 2 f | _ \ Delta g | _ \ Delta = 0 [/ matemáticas]
donde [math] \ Delta [/ math] es la diagonal. Ahora recuerde que la función analítica de una variable se desvanece en un conjunto discreto de puntos de todas partes. En consecuencia, tenemos [math] f | _ \ Delta = 0 [/ math] o [math] g | _ \ Delta = 0 [/ math].
Considere primero el caso donde [math] g | _ \ Delta = 0 [/ math]. Se sigue de la teoría de la función analítica en varias variables que [matemática] g (x, y) = (x – y) h (x, y) [/ matemática] para alguna función analítica h . Entonces nosotros tenemos
[matemáticas] f (x, y) (xy) h (x, y) + f (y, x) (y – x) h (y, x) = 0; [/ matemáticas]
factorización,
[matemáticas] (xy) [f (x, y) h (x, y) – f (y, x) h (y, x)] = 0 [/ matemáticas]
Entonces, para todos [matemáticas] x \ neq y [/ matemáticas] tenemos
[matemáticas] f (x, y) h (x, y) = f (y, x) h (y, x). [/ matemáticas]
Escriba [matemáticas] s (x, y): = f (x, y) h (x, y) [/ matemáticas], y observe que esta función es analítica. Entonces la ecuación anterior dice que [math] s (x, y) -s (y, x) = 0 [/ math] en [math] \ Delta ^ c [/ math]; dado que [math] s (x, y) – s (y, x) [/ math] es una función analítica que se desvanece en un conjunto abierto denso, desaparece de forma idéntica, es decir, [math] s (x, y) = s (y , x) [/ matemáticas]. Entonces s es una función analítica simétrica.
Esto muestra que cuando f es analítico y [matemático] f | _ \ Delta \ neq 0 [/ matemático], cada g analítico que resuelve esta ecuación funcional tiene la forma
[matemáticas] g (x, y) = \ frac {(xy)} {f (x, y)} s (x, y) [/ matemáticas]
donde s es una función analítica simétrica. Por el contrario, suponga que s es una función analítica simétrica de tal manera que s / f se extiende a una función analítica en todas partes. Entonces, si consideramos que g tiene la forma anterior, g es analítico y
[matemáticas] f (x, y) g (x, y) + f (y, x) g (y, x) [/ matemáticas]
[matemáticas] = f (x, y) \ frac {xy} {f (x, y)} s (x, y) + f (y, x) \ frac {yx} {f (y, x)} s (y, x) [/ matemáticas]
[matemáticas] = (xy) [s (x, y) – s (y, x)] = 0 [/ matemáticas]
Y luego podríamos considerar el caso donde [math] f | _ \ Delta = 0 [/ math], y así sucesivamente.
Si deja que f sea mucho peor que analítico, diga [math] C ^ \ infty [/ math], entonces tendrá que ser mucho más cuidadoso, porque (IIRC) cada conjunto cerrado es el lugar de fuga de alguna suave función.