Física del estado sólido: ¿Qué son las zonas de Brillouin?

La primera parte de la respuesta es, si los átomos en un sólido están dispuestos periódicamente, hay una celda unitaria, y todo el cristal se puede construir moviendo esa celda unitaria en diferentes direcciones. Esto significa que solo necesita comprender lo que sucede en la celda unitaria y comprender lo que sucede en todo el cristal. [Bueno, excepto por dislocaciones, impurezas, superficies y otras cosas que veremos más adelante].

La segunda parte de la respuesta es que en la mecánica cuántica, el momento y la posición son variables conjugadas. Eso significa que hay un espacio equivalente de momento de la celda unitaria. Esa es la zona de Brillouin. Ver la respuesta de Jacob VanWagoner .

Pero, ¿por qué querrías trabajar en el espacio de impulso en lugar del espacio real? Esa es la tercera parte de la respuesta. [También es la parte de la respuesta que una vez olvidé cuando alguien hizo esta pregunta al comienzo de un seminario que di. Fue un seminario de entrevista y no me contrataron. Probablemente hubo otras razones, pero estoy tratando de generar motivación 🙂 Los niveles de energía permitidos de los electrones se cuantifican y se distinguen en el espacio de momento (también llamado espacio k , y los diferentes puntos en la zona de Brillouin). Debido a que los electrones son partículas de mecánica cuántica deslocalizadas, los niveles de energía no son funciones únicas de diferentes posiciones en el espacio real (espacio r , la celda unitaria). Resuelve la ecuación de Schroedinger en diferentes puntos de la zona de Brillouin y obtienes valores propios y vectores propios asociados. De estos, puede obtener transiciones ópticas y distribuciones de electrones en el espacio real.

Una zona de Brillouin puede considerarse como la Transformada de Fourier de la celda unitaria mínima de una estructura periódica. Es una vista demasiado simplificada, pero le da una buena cantidad de intuición.

En cualquier estructura periódica en la que desee resolver una ecuación de onda (por ejemplo, la ecuación de Schrodinger para un electrón en un cristal o un fotón en una rejilla de Bragg), entonces desea descubrir la relación de la frecuencia con el número de onda. Para un electrón, la frecuencia y el número de onda multiplicados por la barra h son energía y momento, respectivamente.

El enfoque más común para resolverlo para la relación wk es usar ondas Bloch. El teorema de Bloch para ondas en un potencial periódico establece que cualquier onda que viaje a través de un potencial periódico puede expresarse como el producto de una función periódica y una onda plana.

Esta periodicidad hace que k no sea único, sino que cada k es equivalente a k + 2pi / a, donde a es el período de la estructura. Debido a esto, la solución “envuelve” el límite del período.
la misma función centrada en cero se replica en k = 2pi / a y -2pi / a y así sucesivamente. Puede pensar en ello simplemente envolviendo el límite.

Aquí es de donde vienen las bandas (pero no necesariamente las brechas de banda). Para cada vector k que describe una solución, hay múltiples frecuencias que pueden tener ese vector k porque la relación es periódica (es decir, k = 0 es equivalente a k = 2pi / a, donde a es la distancia de la red, o el punto equivalente una unidad celda sobre).
La zona de Brillouin para una rejilla Bragg de fibra es realmente simple, ya que es periódica en una sola dimensión.

Al igual que la red tiene una celda unitaria (su celda unitaria mínima se conoce como la celda Wigner-Seitz), la relación omega-k periódica también tiene una celda unitaria ya que es periódica. Esa celda mínima es la zona de Brillouin.

Explicar esto en detalle es acerca de una discusión de 4 semanas en una clase de física de estado sólido de pregrado,

En el caso de sistemas sólidos, especialmente cristalinos, tienen estructura periódica. Y matemáticamente es imposible tratar el problema con un tamaño infinito.

Entonces, ¿qué vas a hacer ahora?

Es bastante sencillo avanzar del sistema infinito al sistema finito utilizando la transformación de Fourier.
Ahora estás en k – espacio o espacio de impulso. Ahora el área encerrada en la celda unidad primitiva de su sistema se llama Zona Brillouin.

Puede dibujar la zona de Brillouin utilizando métodos wz en el espacio real.

Una noción para comprender la propagación de ondas en una red infinita y periódica. Se vuelve bastante poderoso cuando los electrones en los sólidos se consideran ondas.

Sin embargo, es posible que primero desee comprender la condición de Brilliouin que explica los picos de difracción sobre la base de una construcción geométrica llamada red recíproca. Ver, por ejemplo: 7 La condición de Brillouin