Deje que [math] X [/ math] sea una variedad proyectiva suave definida sobre [math] \ mathbb {Q} [/ math]. Es decir, el conjunto de soluciones de una colección de polinomios con coeficientes racionales que no tiene singularidades. Los teóricos de números están interesados en encontrar puntos racionales de [matemáticas] X [/ matemáticas], es decir, soluciones racionales (en este entero equivalente) a las ecuaciones que definen la variedad. A menudo también están interesados en encontrar soluciones módulo [matemáticas] p [/ matemáticas] tanto por interés inherente como porque tales soluciones lo ayudan a comprender soluciones enteras.
Una forma de estudiar estas ecuaciones es explotar el grupo de Galois de [math] \ overline {\ mathbb {Q}} / \ mathbb {Q} [/ math] donde [math] \ overline {\ mathbb {Q}} [/ matemática] es el cierre algebraico de los racionales. Denotemos este grupo [matemáticas] G [/ matemáticas]. Entonces [matemáticas] G [/ matemáticas] actúa sobre [matemáticas] X [/ matemáticas]. Ahora estudiar [matemática] X [/ matemática] directamente suele ser bastante difícil, por lo que los teóricos de los números adjuntan dispositivos de álgebra lineal, es decir, espacios vectoriales con estructura adicional proveniente de la geometría y la teoría de números, a [matemática] X [/ matemática] y esperan que estos los espacios vectoriales recuerdan suficiente información sobre [matemáticas] X [/ matemáticas] para responder preguntas sobre las soluciones racionales y mod [matemáticas] p [/ matemáticas]. Además, [math] G [/ math] actúa en estos espacios vectoriales porque actúa en la variedad, por lo que podemos estudiar la acción de [math] G [/ math] como operadores lineales, es decir, observar sus valores propios y comprender el espacios vectoriales
Uno de estos dispositivos es la [matemática] l [/ matemática] -cohomología adica [matemática] H ^ q (X, \ mathbb {Q} _l) [/ matemática] para [matemática] l [/ matemática] un número primo y [ matemáticas] q [/ matemáticas] un entero. Denotaré esto [matemáticas] V [/ matemáticas]. Sea [math] p [/ math] un primo diferente de [math] l [/ math] de modo que cuando reduzcamos [math] X [/ math] mod [math] p [/ math], [math] X [ / matemáticas] sigue siendo suave. Esto se llama buena reducción. Luego hay un subgrupo de [math] G [/ math], el grupo de descomposición [math] G_p [/ math], que actúa sobre la variedad mod [math] p [/ math]. Luego, las conjeturas de Weil nos dicen que la función de conteo de puntos, es decir, la función que nos da el número de soluciones mod [math] p [/ math], se obtiene al comprender el determinante de [math] (1-F_p) [/ math ] actuando sobre [matemática] V [/ matemática] para todos [matemática] q [/ matemática] donde [matemática] F_p [/ matemática] es el automorfismo de Frobenius, un elemento especial de [matemática] G_p [/ matemática]. Las conjeturas de Weil nos dicen mucho más, pero esta es la parte importante para motivar la conjetura de la monodromía del peso. Por lo tanto, las conjeturas de Weil reducen el problema de encontrar soluciones sobre un campo finito de buena reducción a un problema de álgebra lineal (presumiblemente más fácil).
La conjetura de la monodromía del peso se refiere a lo que sucede cuando elegimos un cebado donde la variedad no tiene una buena reducción. En este caso, no podemos esperar algo tan bueno como las conjeturas de Weil, pero podemos esperar que los valores propios del Frobenius en la cohomología adética [matemática] l [/ matemática] todavía nos digan algo. En este caso, [math] V [/ math] lleva una filtración proveniente de la geometría de [math] X [/ math], es decir, una secuencia de subespacios crecientes [math] V_i \ subconjunto V_ {i + 1} [/ matemáticas] de [matemáticas] V [/ matemáticas]. Si definimos [math] gr ^ W_i V: = V_i / V_ {i-1} [/ math], entonces el Frobenius actúa sobre [math] gr ^ W_i V [/ math] y la conjetura de la monodromía de peso describe los valores propios de esta acción, que es el primer paso para comprender cómo estos valores propios en primos de mala reducción nos dicen algo sobre la aritmética de [matemática] X [/ matemática] y el número de soluciones en primos de mala reducción.
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