¿Cuál es el resto de 57 ^ 67 ^ 77/17?

Answer 1

12

Rem [57 ^ 67 ^ 77/17] = Rem [6 ^ 67 ^ 77/17]

Ahora, según el teorema de Fermat, que establece Rem [a ^ (p-1) / p] = 1, sabemos
Rem [6 ^ 16/17] = 1

El número dado a nosotros es 6 ^ 67 ^ 77
Vamos a averiguar Rem [Power / Cyclicity] t0 averiguar si es 6 ^ (16k + 1) o 6 ^ (16k + 2). Podemos mirarlo y decir que no es 6 ^ 16k
Rem [67 ^ 77/16] = Rem [3 ^ 77/16] = Rem [(3 ^ 76 * 3 ^ 1) / 16]
= Rem [((81 ^ 19) * 3) / 16] = Rem [1 * 3/16] = 3

=> El número tiene el formato 6 ^ (16k + 3)

=> Rem [6 ^ 67 ^ 77/17] = Rem [6 ^ (16k + 3) / 17] = Rem [6 ^ 3/17]
= Rem [216/17] = 12

He respondido un montón de preguntas muy similares sobre los residuos. Puede obtener la lista completa aquí: Teorema restante y conceptos relacionados para la preparación de CAT por Ravi Handa en Preparación de CAT

Answer 2

[matemáticas] \ frac {57 ^ {67 ^ {77}}} {17} = 10 ^ {10 ^ {10 ^ {2.148009289025094}}} [/ matemáticas]

Fuente: 57 ^ 67 ^ 77/17 – Wolfram | Alpha

EDITAR:

Es esto lo que estás buscando –

[matemáticas] 57 ^ {67 ^ {77}} mod 17 = 12 [/ matemáticas]

Answer 3

Respuesta: 12

Cuando 57 ^ 67 ^ 77 se divide por 17, ¿cuál es el resto?

Cuando 57 se divide por 17, el resto es 6; por lo tanto, el problema se reduce a 6 ^ 67 ^ 77; cuando 6 ^ 16 se divide por 17, el resto es 1. Por lo tanto, el problema puede reducirse aún más a 1 * (6 ^ n). Tenemos que encontrar el valor de n.

Cuando 67 ^ 77 se divide por 16, el resto es 3

=> El resto es 12 (cuando 6 ^ 3 se divide por 17, el resto es 12)

Answer 4

Prerrequisitos :
Exponenciación modular
El pequeño teorema de Fermat
Del pequeño teorema de fermat podemos decir que:
[matemáticas] \ left (a ^ x \ right) mod \ m = \ left [a ^ {x \ mod \ \ left (m-1 \ right)} \ right] mod \ m [/ math]
Por lo tanto
[matemáticas] \ left (57 ^ {67 ^ {77}} \ right) mod \ 17 = \ left [57 ^ \ left ({67 ^ {77} \ mod \ 16} \ right) \ right] mod \ 17 [/matemáticas]
[matemáticas] \ left (57 ^ {67 ^ {77}} \ right) mod \ 17 = \ left (57 ^ 3 \ right) mod \ 17 [/ math]
[matemática] \ izquierda (57 ^ {67 ^ {77}} \ derecha) mod 17 = 12 [/ matemática]

Answer 5

57 ^ 67 ^ 77/17
Euler de primer P = P-1
17-1 = 16
Poder / euler
= 67 ^ 77/16
= 3 ^ 77/16
= 3 ^ 76 * 3/16
= (3 ^ 4) ^ 19 * 3/16
= 81 ^ 19 * 3/16
= 1 ^ 19 * 3/16
= 1 * 3/16
= 3 restos
Entonces nuestra pregunta se acorta a 57 ^ 3/17
= 6 ^ 3/17
= 36 * 17/06
= 2 * 6/17
= 17/12
= 12 -> resto final

Answer 6

Primero debemos expresar 67 ^ 77 en la forma = 16k + resto, k∈N,

para que podamos usar el pequeño teorema de Fermat (6 ^ 16) mod1mod17 más tarde.

★ ①

67 ^ 77

= (4 × 16 + 3) ^ 77

≡ (3 ^ 77) mod16

≡ (3 ^ 4) ^ 19 × 3

≡ 81 ^ 19 × 3

≡ (5 × 16 + 1) ³ × 3

= 3 × (16M + 1) …… para M∈N

≡ 16 × (3M) +3

≡ 16k + 3, k ∈ N, (● ▼ ●)

★ ② ∴

57 ^ 67 ^ 77

≡ (3 × 17 + 6) ^ 67 ^ 77

≡ 6 ^ (67 ^ 77) …… mod17

≡ 6 ^ (16k + 3) 【por (● ▼ ●)】

≡ (6 ^ 16) ^ k × 6³

【Por el pequeño teorema de Fermat a ^ 16≡1 mod 17 → 6 ^ 16≡1 mod17】

≡ (1) ^ k × 6³ …… mod 17

³ 6³ mod 17

≡ 6 × 6²

≡ 6 × (2 × 17 + 2)

≡ 6 × 2mod17

≡ 12 mod17