¿Hay una explicación laica de la prueba de Andrew Wiles del último teorema de Fermat?

Answer 1

Si tiene las habilidades matemáticas, lea la respuesta de Robert Harron.

Si no lo hace, aquí está la versión laica realmente manual.

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Andrew Wiles demostró ser una parte clave de la Conjetura Shimura-Taniyama. Luego usó esto junto con el teorema de Ribet para probar el último teorema de Fermat.

Claramente, hay algunas cosas que deben explicarse aquí.

¿Cuál es la conjetura de Shimura-Taniyama?

Hay dos clases de “objetos” en matemáticas que, hasta la década de 1950, se consideraban completamente diferentes.

Una de ellas es la curva elíptica . Las curvas elípticas son cosas descritas por la siguiente ecuación. No te preocupes, no voy a hacer nada con la ecuación, solo está ahí para hacerme sentir como un verdadero matemático:

[matemáticas] y ^ 2 = x ^ 3 + hacha + b [/ matemáticas]

Si trazas estas curvas, se ven como donas.

La otra cosa es la forma modular. Las formas modulares son funciones extremadamente extrañas que tienen todo tipo de simetrías.

A primera vista, estas dos cosas no tienen nada que ver entre sí.

Sin embargo, en 1956, un joven matemático llamado Yutaka Taniyama propuso la idea de que los dos estaban relacionados. De hecho, su idea original era defectuosa, pero en 1957, se presentó una versión refinada que había elaborado con otro matemático llamado Goro Shimura. Esto parecía ser plausible, pero no pudieron probarlo. En cambio, sugirieron un montón de razones por las cuales probablemente era cierto, y lo dejaron como una conjetura (es decir, una idea no probada que los matemáticos consideran que probablemente sea cierta).

La conjetura era básicamente que para cada forma modular, existe una curva elíptica, y viceversa. Si bien los dos parecen no tener nada que ver entre sí, existe una correspondencia 1: 1 entre ellos. Esto es complicado, ya que hay un número infinito de cada uno.

La conjetura pasó varias décadas sin probarse.

Entra en Ribet, haciendo que la Conjetura sea importante para Fermat

Al matemático francés Jean-Pierre Serre y al estadounidense Ken Ribet se le ocurrió algo llamado la conjetura de Epsilon, que se perdió al mirar a Fermat al revés.

Comenzaron asumiendo que el último teorema de Fermat estaba equivocado y que, por lo tanto, había una solución. Luego trabajaron en las implicaciones de cómo se vería esta solución … y resultó que la solución les permitiría crear una curva elíptica que no era una forma modular.

Entonces, si Fermat estaba equivocado, también lo estaba Shimura-Taniyama.

Ahora, invierta la lógica. Si Shimura-Taniyama tenía razón, entonces eso significaba que Fermat no estaba equivocado después de todo … o dicho de otra manera, demuestre a Shimura-Taniyama y usted ha demostrado a Fermat.

(En realidad, es un poco más complejo que eso, ya que solo tienes que probar una parte particular de Shimura-Taniyama, pero esta es la versión laica).

La razón por la que Ribet obtiene el crédito en lugar de Serre es porque él demostró que la conjetura de Epsilon era cierta … en ese momento fue rebautizado como Teorema de Ribet en su honor.

Entonces, ¿qué hizo Wiles?

Andrew Wiles estaba fascinado por lo que Ribet había demostrado, ya que había estado interesado en el último teorema de Fermat cuando era niño. Se dio cuenta de que si podía probar que Shimura-Taniyama era verdad, entonces su trabajo estaba hecho.

Descubrió que, en lugar de trabajar directamente con las curvas, era mejor trabajar con algo llamado la Representación de las curvas de Galois. Luego dividió las curvas en cuatro casos y trató de probarlas por separado. Para hacer esto, necesitaba algo llamado Fórmula de número de clase (CNF). Luchó durante mucho tiempo con esto.

Luego, en 1991, Matthias Flach le envió un documento que estableció algunos CNF. Pasó varios años extendiendo el trabajo de Flach, hasta que fue suficiente para sus propósitos.

Consiguió un colega, Nick Katz, para revisar su trabajo, y lo presentó como una conferencia en Cambridge, Inglaterra, en 1993. Luego envió los documentos para su revisión formal por parte de Katz, lo que tomó alrededor de 3 meses. Katz encontró un problema importante, en el que Wiles y Richard Taylor pasaron el año siguiente. Esto corrió a 106 páginas, y fue publicado en 1995.

El enfoque final es definir rigurosamente un CNF para todos los casos, y luego mostrar que todos los casos coinciden 1: 1, por lo que realmente hay una forma modular para cada curva elíptica y viceversa.

Esto toma 106 páginas, e involucró genuinamente inventar muchas nuevas matemáticas … y es el punto en el que mi comprensión parte de la prueba. Como dije al principio, lea la respuesta de Robert Harron para el siguiente nivel de detalle.

(Una posdata: una vez que se prueba una conjetura, recibe un nuevo nombre. Vimos esto antes cuando la conjetura de Epsilon se convirtió en el Teorema de Ribet. En el caso de Shimura-Taniyama, funcionó de otra manera: ya no es la Conjetura de Shimura-Taniyama , ahora es el Teorema de la modularidad. Probablemente haya una moraleja allí en alguna parte).

EDITAR: Un amigo sacó una foto vieja. Andrew Wiles está en el medio en la parte delantera, soy el tercero desde la derecha en la fila de atrás (con lo que parece un pañuelo rojo pero probablemente es una amapola).

Answer 2

Esta no es la respuesta perfecta, pero es para explicar por qué estás obteniendo respuestas extrañas:

El último teorema de Fermat es un corolario bastante fácil de la conjetura de Taniyama-Shimura. Sin embargo, la conjetura de Taniyama-Shimura no es una generalización directa del último teorema de Fermat. De hecho, es producto de un conjunto de ideas completamente diferente.

Class Field Theory es una teoría muy sorprendente y agradable sobre los números primos. Casi toda la teoría de números hasta la década de 1930 se enmarca en la “Teoría de campo de clase”. ¡Es realmente algo! Pero la teoría de campo de clase solo explica un cierto fenómeno para un tipo particular de simetría. (Sé que esto no tiene mucho sentido para ti. ¡Eso es porque Class Field Theory es realmente muy complicado!)

Debido al éxito de Class Field Theory, la gente ha estado esperando una generalización que funcione para cualquier tipo de simetría. Sin embargo, si la teoría de campo de clase parecía extremadamente complicada, su generalización parecía prácticamente imposible.

¡Entra Taniyama-Shimura! Su conjetura es una generalización de la teoría de campo de clase. A priori, en realidad no es obvio por qué esa sería la generalización correcta … De hecho, cuando Shimura le preguntó a Weil si es verdad, Weil tenía muchas dudas (hasta que Weil demostró los teoremas inversos, pero esa es una historia diferente).

Luego ingrese Robert Langlands, quien dio el conjunto más general de conjeturas que, de ser probadas, generalizarían la teoría de campo de clase al caso más general.

De todos modos, Andrew Wiles demostró suficiente de la conjetura de Taniyama-Shimura para demostrar el último teorema de Fermat, y luego Brian Conrad terminó la prueba de la conjetura completa de Taniyama-Shimura. Las conjeturas de Langlands todavía están abiertas, y son quizás la pregunta abierta más grande en todas las matemáticas de hoy.

No entré en ninguno de los detalles reales, porque incluso la base (Class Field Theory) lleva unos pocos años para aprender. Las conjeturas de Langlands son tan complicadas que la gran mayoría de los matemáticos no tienen los antecedentes para entender su afirmación …

Pero este es el bosquejo completo de la historia, y el contexto para la prueba del último teorema de Fermat, y por qué es mucho más importante de lo que parece.

Answer 3

Técnicamente, Andrew Wiles había dado una prueba de la conjetura de Shimura-Taniyama. Fue el matemático Gerhard Frey quien primero demostró que si se podía demostrar que la conjetura antes mencionada era cierta, entonces el Teorema de Fermat también se demostraría como un resultado directo reductio ad absurdum.

Ahora la prueba de Wiles es más de 130 páginas de las matemáticas más complicadas del planeta. No creo que sea posible comprender ni siquiera una fracción de la prueba sin tener una base sólida en la teoría de números y el conjunto de herramientas extremadamente avanzadas que emplea.

Sin embargo, lo que puedo hacer es dar una idea sobre el flujo lógico.

En primer lugar, ¿cuál es la conjetura de Shimura-Taniyama?
Fue una hipótesis propuesta por un par de matemáticos japoneses (que prestan sus nombres a la conjetura) que la serie L de curvas elípticas y la serie M de forma modular eran esencialmente las mismas. Ahora, esta era una propuesta extremadamente audaz que unía dos campos matemáticos muy distintos y separados. Era algo así como Maxwell usando sus ecuaciones para unir electricidad, magnetismo y luz.

Lo que son las curvas elípticas y las formas modulares son, por supuesto, las matemáticas de alto nivel más allá de la comprensión del lego. Solo sepa que Wiles utilizó una combinación de técnicas derivadas de la teoría de Iwasawa y una versión modificada de un método llamado Kolyvagin-Flach para probar esta conjetura con la ayuda de la inducción matemática.
Una vez que se estableció la verdad de la conjetura de Shimura-Taniyama, el último teorema de Fermat podría probarse de esta manera:

1. La conjetura de Shimura-Taniyama es cierta.
2. Suponga que el último teorema de Fermat es falso. Suponga que la ecuación es verdadera para algún conjunto de valores A, B, C, N.
   Es decir, A ^ N + B ^ N = C ^ N
3. Ahora, convierta esta ecuación en una ecuación elíptica. El procedimiento para hacer esto es complejo. Pero una vez que lo hagas, llegarás a algo como:
   y ^ 2 = x ^ 3 + (A ^ N- B ^ N) x ^ 2 – A ^ N * B ^ N
4. El siguiente paso fue demostrar que esta ecuación elíptica no tiene una forma modular correspondiente. La prueba de esto fue dada por otro matemático llamado Ken Ribet (y no Wiles).
5. Como no existe una forma modular correspondiente, esto entra en conflicto directo con la conjetura de Shimura-Taniyama.
6. Pero sabemos que la conjetura es cierta. Por lo tanto, nuestra suposición debe ser falsa. Por lo tanto, por contradicción, el último teorema de Fermat es verdadero.

Answer 4

Depende de qué tan profundo estés tratando de llegar. El punto inicial es que si hay una solución para [matemáticas] x ^ n + y ^ n = z ^ n [/ matemáticas], entonces puedes construir algún objeto E (una “curva elíptica sobre los racionales” llamada curva de Frey ) que tiene ciertas propiedades que evitan que exista. La inexistencia de este objeto es donde entra en juego la conjetura de Shimura-Taniyama: establece que las propiedades de objetos como E (cualquier curva elíptica sobre los racionales) están restringidas de alguna manera específica, y el objeto específico que construyes no encajar en estas restricciones. Por supuesto, esto ya se sabía antes de la prueba de Wiles. Lo que probó fue (parte de) la conjetura de Shimura-Taniyama. Se podría decir algo sobre esta prueba, pero no sin usar mucho la palabra “cosita” (u objeto). Por ejemplo: la conjetura establece que cada objeto E proviene de algún otro objeto f (una forma modular). Estudie E introduciendo un objeto básicamente equivalente [math] \ rho [/ math] (la representación de p-adic Galois en el módulo Tate de E). Deseche alguna información de [math] \ rho [/ math] mirando [math] \ overline {\ rho} [/ math] (su mod de reducción p) y demuestre que cada [math] \ overline {\ rho} [ / math] satisface algo como la conjetura de Shimura-Taniyama (es decir, cada [math] \ overline {\ rho} [/ math] es modular). Esto se hace mediante algunos trucos (cambiar entre los primos p = 3 y p = 5), aunque hoy en día se puede ver directamente de la conjetura de Serre, que ahora es un teorema. Ahora trate de “levantar” el hecho de que [matemáticas] \ overline {\ rho} [/ matemáticas] satisface algo como la conjetura de Shimura-Taniyama para mostrar que [matemáticas] \ rho [/ matemáticas] satisface la conjetura real de Shimura-Taniyama ( es decir, demostrar un “teorema de elevación de modularidad”). La idea es estudiar la familia de todas las cosas como [math] \ rho [/ math] que dan [math] \ overline {\ rho} [/ math] al arrojar alguna información (es decir, estudiar el conjunto de deformaciones de Galois de [ matemáticas] \ overline {\ rho} [/ matemáticas]). Compare con la familia todas las cosas que provienen de algún otro objeto como f, y demuestre que estas dos familias son iguales (es decir, demuestre un teorema de R = T). Esta última parte se vuelve bastante técnica, pero funciona. ¿Cómo es eso?

Answer 5

Lo dudo. Soy impreciso en los detalles, pero entiendo que la prueba es bastante larga / compleja, y requiere dividir el problema en un conjunto de casos diferentes, cada uno de los cuales se demuestra de manera algo independiente. Estoy bastante seguro de que comprender las partes difíciles requiere una profunda familiaridad con el material, mucho más allá de las matemáticas típicas de nivel universitario.

Una parte crítica de la prueba de Andrew Wiles depende de la prueba de la conjetura de Taniyama-Shimura:
http://mathworld.wolfram.com/Tan …

No explica en absoluto la matemática de la prueba, pero si le interesa el tema, le recomendaría leer “Engmat’s Ferima” de Simon Singh. Narra la historia de la búsqueda de Wiles de la prueba, todos los altibajos que encontró en el camino.
http://www.amazon.com/Fermats-En …

Answer 6

Lea la novela – El último teorema de Fermat por Simon Singh. Es una novela de 250 páginas que lo llevará a través de las matemáticas de Pythogorean a la conferencia de Andrew Wiles que anuncia la prueba. Es una lectura sorprendente y describe muchas tramas secundarias interesantes (¡una historia de una persona salvada del suicidio, la rebelión francesa, el sesgo de género!). El Sr. Singh explica conceptos matemáticos esotéricos como las curvas elípticas y la conjetura de Taniyama-Shimura de una manera que cualquiera puede entender fácilmente.

Answer 7

Centrándome en la conjetura crítica de Taniyama-Shimura, aquí está mi analogía simplista para explicar el enfoque general, más que los detalles íntimos (pierdes al hombre común, e incluso al hombre bien educado, cuando entras en los campos de Galois):

http: //www.necessaryandsufficien …

Answer 8

Alex Bellos dio un buen resumen de alto nivel de la prueba de Wiles en la ceremonia en la que Wiles recibió el Premio Abel este año. El video está disponible aquí (a partir de las 8:00):

Answer 9

No puedes La prueba es tan larga y utiliza métodos tan complicados e intrincados que no tienen una explicación fácil de que intentar explicar toda la prueba usando “términos de persona promedio” sería una hazaña increíble.

Answer 10

Nova hizo un documental que solía estar en YouTube. Es bastante interesante y bastante comprensible.
http://www.pbs.org/wgbh/nova/proof/

Answer 11

Fearless Symmetry es la mejor que conozco, pero supone una gran cantidad de conocimientos matemáticos (probablemente nivel de matemática junior / senior).