Pruebas (matemáticas): ¿Cómo se puede probar que hay infinitos números primos de la forma 6x – 1?

Answer 1

Prueba simple por contradicción:

• supongamos que hubo un número finito de tales {p_i}
• luego construya el número 6 * p_1 * p_2 *… p_n -1
• por construcción, no es divisible por 2,3 o cualquiera de los primos 6x-1 {p_i}
• si fuera compuesto y divisible por al menos un primo 6x + 1, entonces para tener un residuo -1 mod 6, también debería ser divisible por al menos un primo 6x-1 (desconocido), lo que contradice nuestra suposición
• por lo tanto, es un primo más grande de la forma 6x-1

Ver, por ejemplo, U Washington Math 414 Serie de problemas 1, P3.

Los primos de la forma 6n-1 son la secuencia OEIS A007528.

‘Un producto menos de seis veces de los primeros n primos (primorial primo) de la forma 6k-1’
es OEIS A057131: 29, 329, 5609, 129029, 3741869, …

El ‘producto (incompleto) de primos 6x-1 inferiores seleccionados’ (multiplicando 5, 29 y luego los números sucesivos de la secuencia que construimos anteriormente) es
OEIS A005267 (o al menos, términos 3 en adelante): 3, 2, 5, 29, 869, 756029, 571580604869,…

Algunas curiosidades relacionadas con los primos 6x-1:
A040028 Primes p tal que x ^ 3 = 2 tiene una solución mod p.
A000966 n! nunca termina en tantos ceros.

Answer 2

Basado en la hipótesis de que los primos son finitos, entonces habrá un número natural X que se puede representar multiplicando todos los números primos.

X = p1⋅p2 … pn

Considere entonces X + 1.

Si X + 1 es primo, la hipótesis inicial es falsa y, por lo tanto, los números primos no son finitos.

Si X + 1 es el compuesto, entonces esto es divisible por cualquier pk primo.

(X + 1) / pk = (p1⋅p2… pn) / pk + 1 / pk

El término 1 / pk no puede ser un número natural porque un número primo siempre es mayor que 1, por lo que la posibilidad de ser primos finitos no es válida.

Por lo tanto, se deduce que hay infinitos números primos.