¿Cuáles son los usos más sorprendentes del último teorema de Fermat?

Answer 1

Encuentre todos los enteros positivos [matemática] x, y, z [/ matemática] que satisfacen [matemática] xy (x ^ 2 + y ^ 2) = 2z ^ 4 [/ matemática].

Fuente: una foto de los túneles del MIT

La solución está abajo. Te animo a que intentes este problema antes de mirar.

Expande la ecuación para obtener [matemáticas] x ^ 3y + xy ^ 3 = 2z ^ 4 [/ matemáticas].
Tenga en cuenta que [matemáticas] (x + y) ^ 4 = x ^ 4 + 4x ^ 3y + 6x ^ 2y ^ 2 + 4xy ^ 3 + y ^ 4 [/ matemáticas].
Además, [matemáticas] (xy) ^ 4 = x ^ 4 – 4x ^ 3y + 6x ^ 2y ^ 2 – 4xy ^ 3 + y ^ 4 [/ matemáticas].
Entonces tenemos [matemáticas] (x + y) ^ 4 – (xy) ^ 4 = 8x ^ 3y + 8xy ^ 3 = 8 \ cdot 2z ^ 4 [/ matemáticas].
Finalmente, reorganice para obtener [matemáticas] (x + y) ^ 4 = (xy) ^ 4 + (2z) ^ 4 [/ matemáticas].

Según el último teorema de Fermat, esto no tiene solución para [matemáticas] x + y, xy, 2z [/ matemáticas] todas positivas. Como todos los poderes son 4, y 4 es par, tampoco pueden ser negativos; uno de ellos debe ser 0. Como estamos buscando soluciones positivas, debemos tener [matemáticas] x = y [/ matemáticas].

Al conectar esto a la ecuación original se obtiene [matemática] xy (x ^ 2 + y ^ 2) = 2x ^ 4 = 2z ^ 4 [/ matemática], por lo que terminamos con [matemática] x = y = z [/ matemática] , que de hecho es la única solución.

Answer 2

Pregunta:

Dos urnas contienen el mismo número de canicas totales, algunas negras y otras blancas en cada una. De cada urna se extraen [math] n [/ math] canicas, con reemplazo entre los sorteos. Para qué valores de [matemática] n [/ matemática] y para qué composición de color de las canicas en las dos urnas, la probabilidad de que las canicas extraídas de la primera urna sean todas blancas será igual a la probabilidad de que el dibujo de la segunda urna consista de canicas todas del mismo color (es decir, todas blancas o todas negras)?

Solución:

Supongamos que la cantidad de canicas en cada urna es [matemática] N [/ matemática], y [matemática] w_1 [/ matemática] y [matemática] w_2 [/ matemática] es la cantidad de canicas blancas en cada urna.

Probabilidad de sacar todo el blanco de la segunda urna [matemáticas] = (\ frac {w_2} {N}) ^ n [/ matemáticas]

Probabilidad de sacar todo el negro de la segunda urna [matemáticas] = (\ frac {N – w_2} {N}) ^ n [/ matemáticas]

La probabilidad de que todas las canicas de la primera urna sean blancas es [matemática] (\ frac {w_1} {N}) ^ n [/ matemática]

Las probabilidades son iguales [matemáticas] \ implica (\ frac {w_1} {N}) ^ n = (\ frac {w_2} {N}) ^ n + (\ frac {N – w_2} {N}) ^ n [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] w_1 ^ n = w_2 ^ n + (N – w_2) ^ n [/ matemáticas].

Esto podría suceder si [matemática] w_1 = w_2 = N [/ matemática], o si [matemática] w_1 = N, w_2 = 0 [/ matemática].

En cualquier otro caso, [math] w_1, w_2, [/ math] y [math] N – w_2 [/ math] son ​​todos enteros positivos, por lo que según el último teorema de Fermat, debemos tener [math] n = 1 [/ matemáticas] o [matemáticas] n = 2 [/ matemáticas].

Para [matemática] n = 1 [/ matemática], la solución nuevamente se convierte en [matemática] w_1 = N [/ matemática], dado que solo se elige 1 bola de la segunda urna, la probabilidad de que todas las bolas sean del mismo color es 1.

Para [matemática] n = 2 [/ matemática], hay dos soluciones para cada triplete pitagórico: los dos números más pequeños se asignan a [matemática] w_2 [/ matemática] y [matemática] N – w_2 [/ matemática], y el el número más grande es [math] w_1 [/ math].

No puede haber otras soluciones.

Answer 3

Puede usar el último teorema de Fermat para demostrar que [math] \ sqrt [n] {2} [/ math] es irracional para todos [math] n \ geq 3 [/ math].

Prueba: suponga que [math] \ sqrt [n] {2} [/ math] es racional, es decir, [math] \ sqrt [n] {2} = \ frac {p} {q} [/ math], para enteros [matemáticas] p [/ matemáticas] y [matemáticas] q [/ matemáticas]. Entonces

[matemáticas] \ left (\ frac {p} {q} \ right) ^ n = \ left (\ sqrt [n] {2} \ right) ^ n = 1 + 1 \ Rightarrow p ^ n = q ^ n + q ^ n [/ matemáticas]

Esto es una contradicción del último teorema de Fermat, por lo tanto, [math] \ sqrt [n] {2} [/ math] es irracional.

Answer 4

Este no es un uso práctico, pero definitivamente sorprendente. En Los Simpson (serie de televisión) “El mago de Evergreen Terrace” Homero refuta el teorema.

Este es en realidad uno de los pocos “casi errores” no visibles con las calculadoras normales debido a errores de redondeo.

Espero haberte sorprendido!

Answer 5

Mira mi biografía arriba. La ecuación se puede resolver al notar que [matemáticas] 2a ^ 3 + 6ab ^ 2 [/ matemáticas] es solo [matemáticas] (a + b) ^ 3 + (ab) ^ 3 [/ matemáticas]. Según el último teorema de Fermat, [matemática] c [/ matemática], [matemática] a + b [/ matemática] y [matemática] ab [/ matemática] no pueden ser todos distintos de cero *, entonces [matemática] c = 0 [/ math], [math] a = -b [/ math] o [math] a = b [/ math]. Cada caso produce soluciones válidas.

¡A través del último teorema de Fermat, también podemos ver que la raíz cúbica de 2 es irracional !

Deje que [math] p [/ math] y [math] q [/ math] sean enteros positivos tales que [math] \ frac {p ^ 3} {q ^ 3} = 2 [/ math]; entonces [matemáticas] p ^ 3 = q ^ 3 + q ^ 3 [/ matemáticas].

Bueno, claramente por el último teorema de Fermat, esto no es posible. (Esto también se generaliza a las raíces n )

Answer 6

Existen enteros positivos a, byc tales que senx = a / c, cosx = b / c, pero no hay un entero positivo a, b anh c tal que senx = a ^ n / c ^ n, cosx = b ^ n / c ^ n con n entero> 1

De sinx = a ^ n / c ^ n, cosx = b ^ n / c ^ n, da: (sinx) ^ 2 = a ^ 2n / c ^ 2n, (cosx) ^ 2 = b ^ 2n ^ / c ^ 2n, ya que (sinx) ^ 2 + (cosx) ^ 2 = 1, entonces,

a ^ 2n / c ^ 2n + b ^ 2n / c ^ 2n = 1, por lo tanto a ^ 2n + b ^ 2n = c ^ 2n, por FLT, es imposible excepto n = 1.

Answer 7

Conexión a la teoría de cuerdas (múltiples Calabi-Yau):