El programa Langlands constituye un intento de comprender la misteriosa dualidad entre los objetos aritméticos (representaciones de Galois, objetos motívicos) y las formas automórficas (teoría espectral, grupos algebraicos).
Funcionalidad: establecer las propiedades requeridas para los objetos en el mismo lado es en sí una tarea enorme e implica la comprensión del fenómeno profundo.
Reciprocidad: hacer coincidir los objetos en ambos lados es mucho más difícil y la instancia más simple de la reciprocidad es en el caso [matemática] GL_1 [/ matemática], que es esencialmente la teoría de campo de clase y una instancia [matemática] GL_2 [/ matemática] es la modularidad de curvas elípticas sobre [math] \ mathbb {Q} [/ math]!
Hay personas que trabajan en diferentes aspectos del tema, como la teoría analítica de formas automórficas, funciones L, fórmulas de trazas, representaciones de Galois, representación de grupos p-adic, Langlands geométricos, variedades Shimura, etc. Como el propio Langlands dice que la teoría es como un elefante proverbial, uno necesita adquirir ideas y técnicas de varias áreas de las matemáticas para vislumbrar este hermoso tema.
Lado automorfo
[matemáticas] GL_1 [/ matemáticas] – Este es el estudio de los personajes de Hecke. Intente buscar la tesis de Tate que establece las propiedades analíticas y la ecuación funcional requeridas para las funciones L correspondientes.
[matemáticas] GL_2 [/ matemáticas] – Globalmente esto corresponde al estudio de formas modulares holomórficas y formas masivas. Requiere la comprensión de la teoría de representación GL_2 y la teoría espectral en el plano hiperbólico. Aquí es donde aparecen las nociones de cúspide y la serie de Eisenstein. Los objetos importantes que aparecen son los operadores de Hecke, las funciones de Whittaker, la serie de Poincare, las sumas de Kloosterman, la fórmula de rastreo, los teoremas de conversación
[matemática] GL_n [/ matemática] Aquí te das cuenta de muchas más características de las ideas que no aparecerán en las dimensiones bajas. P.ej. Serie de Eisenstein asociada a diferentes parabólicos.
Otros grupos: [math] GL_n [/ math] es dual y, por lo tanto, falta un aspecto muy importante de la teoría hasta que pases a otros grupos reductivos. Aparecen las nociones de grupo dual de Langlands, paquetes L, etc. El cambio de base, la transferencia de funciones, la fórmula de rastreo, la correspondencia de Jacquet Langlands entre las formas internas son algunos de los temas importantes.
En resumen, se requiere la teoría de la representación de los grupos reductores sobre los campos globales y locales y sus propiedades analíticas (funciones L, valores centrales, regiones libres de cero, estimaciones de subconvexidad, estimaciones espectrales, elevaciones cuadradas simétricas) para obtener cierta comprensión de las formas automorfas. .
Referencias: Sugeriría comenzar con las representaciones automorfas del Prof. Daniel Bump o los libros del Prof. Godlfeld sobre representaciones automorfas para GL_n
Galois / lado motivic:
Teoría de Galois (elementos de Frobenius, grupos de ramificación, densidad de Chebotarev, cohomología de Galois)
Representaciones de Galois (de diferentes tipos Artin, l-adic, padic, mod l) – desde la geometría (las acciones de Galois sobre variedades racionales producen representaciones en cohomología), con diferentes comportamientos locales (cristalino, deRham, semiestable, etc.)
Reciprocidad: el caso GL_1 es la teoría de campo de clase. Al menos, uno debe sentirse cómodo con la cohomología grupal (Tate) para tener una idea bastante justa del mapa de reciprocidad (local y global).
Representaciones de Galois unidas a formas modulares: se puede ver la reciprocidad a través de la acción de galois y la acción [math] GL_2 (\ mathbb {A} _ \ mathbb {Q}) [/ math] en los jacobianos de curvas modulares.
Referencias
http://www2.imperial.ac.uk/~tsg/ …
http://web.mit.edu/~holden1/www/ …
Alguna colección de recursos:
Referencias en línea de formularios automórficos
Viñetas en formas automorfas y modulares.
Estos son algunos aspectos con los que estoy familiarizado. Puede seguir el tema en cualquier dirección. Para Langlands geométricos, intenta ver al sujeto como una dualidad de Fourier entre las poleas Hecke eigen de módulos “espacio” de paquetes G y paquetes [matemáticos] ^ LG [/ matemáticos] con una conexión.