Llegué a esta pregunta después de leer esta pregunta sobre las aplicaciones reales de la tetración:
¿Cuáles son las aplicaciones reales de la tetración?
Aparecen algunas aplicaciones cuando se trata de algunos temas matemáticos puros, incluidos grandes números y límites de cálculo, pero no puedo pensar en ninguno obvio.
La exponenciación, por otro lado, está en todas partes. ¿Por qué es esto? No tengo una respuesta completa, pero haré algunos puntos que creo que abordarán esto (teniendo en cuenta las respuestas anteriores):
1) La función exponencial es la solución de algunas de las ecuaciones diferenciales más simples. En otras palabras, cuando la tasa de cambio de un valor está relacionada con su magnitud, entonces el valor en el tiempo puede representarse como una función exponencial. Este tipo de relación aparece con frecuencia en la naturaleza.
2) Un ejemplo más específico de respuesta # 1 es el de interés compuesto.
3) Puedes hacer exponentes muy bien en números reales, y se vuelve aún mejor en números complejos. La tetración está bien definida para enteros no negativos, pero no parece haber una buena manera de expandirla a racionales y más allá. La respuesta de Cody Holland mencionó que la Tetración conduce a estos números enormes; la exponenciación también puede conducir a números enormes, pero como puede tomar un exponente fraccionario, hay cosas mucho más interesantes que puede hacer con los números “bajos”.
4) En la respuesta de Carl Lian: el número de funciones de un conjunto a otro es exponencial. La teoría de conjuntos y las funciones es un componente básico de todas las matemáticas.
5) Polinomios. Son un bloque de construcción muy importante en el análisis, aproximan todas las funciones analíticas y se basan solo en la multiplicación y la suma. Como puede multiplicar una variable por sí misma, esto conduce a exponenciales.
6) La suma y la multiplicación son las operaciones básicas en un campo matemático (“¿Por qué es esto?” Es una pregunta más complicada). Muchas veces en algoritmos estadísticos, y estoy seguro de que en otros lugares, estamos viendo valores en “espacio de registro” (en otras palabras, logaritmos de algunos valores positivos como probabilidades o probabilidades). La suma en el espacio logarítmico es multiplicación. La multiplicación en el espacio logarítmico es exponenciación. Entonces, muchas veces la multiplicación más básica es la exponencia disfrazada.
7) Nuestras anotaciones posicionales y la notación científica para números se basan en exponentes.
No estoy 100% satisfecho con mi respuesta porque suena más como una lista de lugares donde se usan exponentes, y no tanto la causa raíz de todo, pero creo que nos estamos acercando.
A diferencia de la asociación. 
Esto muestra que usar la tetración solo sería útil al usar números grandes. Y ya tenemos la facilidad de usar la notación científica.