Llego un poco tarde, pero creo que la suma por partes con f (k) = [matemática] H_k [/ matemática] y g (k) = [matemática] \ frac {(- 1) ^ {k} } {C (n, k)} [/ math] lo hará. Descubrí que :
[matemáticas] S_k = \ sum_ {i = 1} ^ {k} \ frac {(- 1) ^ i} {C (n, i)} [/ matemáticas]
entonces
[matemática] S_k = \ frac {(- 1) ^ k (nk)} {(n + 2) C (n, k + 1)} – \ frac1 {n + 2} [/ matemática]
- Cómo encontrar la forma cerrada de la suma [matemática] \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ dbinom {n} {k} \ text {min} (k, nk) [/ math] cuando entero [math ] n \ geq0 [/ math]
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usando la suma por partes.
De nuevo, utilizando este método, he descubierto:
[matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ m \ frac {(- 1) ^ kH_k} {C (n, k)} = H_mS_m – \ sum_ {k = 1} ^ {m-1} \ frac {S_k } {k + 1} [/ matemáticas]
lo cual creo que es factible si puedo terminar lo publicaré
sí, la respuesta es:
[matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ m \ frac {(- 1) ^ kH_k} {C (n, k)} = H_mS_m + \ frac1 {(n + 2) ^ 2} – \ frac1 {(n +2)} + \ frac {H_m} {n + 2} + \ frac {(- 1) ^ m (mn) (mn-1)} {(m + 1) (n + 2) ^ 2C (n, m + 1)} [/ matemáticas]
cual es
[matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ m \ frac {(- 1) ^ kH_k} {C (n, k)} = H_m \ frac {(- 1) ^ m (nm)} {(n + 2 ) C (n, m + 1)} + \ frac1 {(n + 2) ^ 2} – \ frac1 {(n + 2)} + \ frac {(- 1) ^ m (mn) (mn-1) } {(m + 1) (n + 2) ^ 2C (n, m + 1)} [/ matemática]