¿Qué es una explicación intuitiva para la ‘clase de congruencia’?

Answer 1

Una clase de congruencia es realmente solo un caso especial de una clase de equivalencia. Así que echemos un vistazo a eso. Una relación de equivalencia, llamémosla ~, se define para tener tres propiedades:

• Reflexivo. Para todo A, A ~ A es cierto.
• Simétrico. Si A ~ B, entonces B ~ A.
• Transitivo. Si A ~ B y B ~ C, entonces A ~ C

Mirando esto, vemos que son las ideas básicas que usamos cuando hablamos de igualdad simple, o también congruencia. La relación nos dice algo acerca de las declaraciones, de tal manera que, de alguna manera, los elementos dentro de cada clase de equivalencia “actúan igual” y están relacionados en una estructura bien definida.

Supongamos que estamos hablando de la clase de congruencia mod m. Entonces cualquier número particular n puede expresarse como [matemática] n = am + b [/ matemática], con [matemática] 0 \ le b <m [/ matemática]. Esto es, para usar el símil común, de la misma manera que la suma se realiza en un reloj. El número b rotará a medida que pase el tiempo, llegue a la parte superior del reloj y luego comience de nuevo. Afirmamos que hay una clase de equivalencia en b porque, de alguna manera, cada "3:00 PM" tiene algunas propiedades particulares que hacen que actúe de la misma manera, aunque podría ser varios días después (lo que aumentaría el valor de a). Entonces, en realidad, todo lo que significa la clase de congruencia es que todos los números comparten la propiedad de que son b más que un múltiplo de m, y luego podemos deducir algunas cosas sobre todos los números de la clase.

Más formalmente, podemos considerar los dos grupos aditivos [math] \ mathbb {Z} [/ math] y [math] m \ mathbb {Z} [/ math]. El primero, por supuesto, son solo los enteros que se suman. El segundo es todos los enteros que son divisibles por m. Luego, tomando el grupo del cociente [math] \ mathbb {Z} / m \ mathbb {Z} [/ math], obtenemos un representante único para cada una de las clases de congruencia mod m. Entonces, todas las declaraciones que son verdaderas sobre este grupo son verdaderas independientemente del representante que elijamos. Realmente, eso es todo lo que queremos decir. 7 + 4 es equivalente a (7 + 12) + 4, mod 12. Estos números actúan de la misma manera, por lo que es razonable decir que 7 y 19 actúan igual de alguna manera, mod 12. Por lo tanto, los etiquetamos como congruente.