Un número cuando se divide por 16 deja 6 restos, cuando se divide por 17, deja 7 restos y cuando se divide por 18 deja 8 restos. Si el número es N. ¿Cuál será el resto cuando M, donde [matemáticas] M = N ^ 2 + 6N + 16 [/ matemáticas] se divide por 12?

Answer 1

8

Supongamos que se nos da que un número dividido entre x, y y z deja un resto de a, b y c; entonces el número tendrá el formato de
LCM (x, y, z) * n + constante

La clave en estas preguntas es descubrir el valor de ‘constante’. Si todos dejan el mismo resto ‘r’, constante = r. También se puede ver como el número más pequeño que satisface la propiedad dada.

En esta pregunta, nos dan
El resto de 16 es 6
El resto de 17 es 7
El resto de 18 es 8

Si nos fijamos en los restos negativos
El resto de 16 es -10
El resto de 17 es -10
El resto de 18 es -10

Entonces, el número N = LCM (16,17,18) * n – 10 = 2448n – 10
Por lo tanto, cualquier número que tenga el formato 2248n – 10 satisfará las condiciones dadas.

Ahora, necesitamos encontrar el resto de M = N ^ 2 + 6n + 16 de 12
Rem [N ^ 2/12 ] = Rem [(2448n – 10) ^ 2/12] = Rem [(-10) ^ 2/12] = 4
Rem [6n / 12] = Rem [6 (2448n – 10) / 12] = Rem [-60/12] = 0
Rem [16/12] = 4

Resto [M / 12] = 4 + 0 + 4 = 8

Answer 2

Dado que la diferencia entre el divisor y el resto es 10 en todos los casos, significa agregar 10 a N para que sea divisible por todos. Entonces N + 10 debe ser un múltiplo de LCM

digamos N = P-10 donde P es un múltiplo de LCM

Entonces [matemáticas] M = (P-10) ^ 2 + 6 (P-10) + 16 = P ^ 2–14 P + 56 [/ matemáticas]

P ya es divisible por 12. el recordatorio será 56 mod 12 = [matemáticas] \ boxed {8} [/ matemáticas]

Answer 3

Ecuaciones simultáneas de diofantina:
N = 16x + 6
N = 17y + 7
N = 18z + 8
Por observación, x = y = z = -1 es una solución.
Entonces N = -10 para este caso.
Ahora la solución general es N = -10 + LCM (16,17,18) * K
MCM (16,17,18) = 2448
N = -10 + 2448K
Pocos valores de N:
-10 (k = 0)
2438 (k = 1)
4886 (k = 2)
7334 (k = 3)

M = N ^ 2 + 6N + 16 = (- 10 + 2448K) ^ 2 + 6 (-10 + 2448K) +16
M = 100-48960K + 5992704K ^ 2-60-14688K + 16
Todos los números que involucran K son divisibles por 12, por lo que las partes restantes dan:
M = 100-60 + 16 (mod 12)
M = 56 (mod 12)
M = 8 (mod 12)
Entonces, cuando M se divide por 12, el resto será 8.

Answer 4

Trataría de responder simplemente, sin usar ningún teorema o conocimiento matemático superior.

N cuando se divide por 16 hojas 6.

N cuando se divide por 17 hojas 7.

N cuando se divide por 18 hojas 8.

En cada caso, N es solo 10 corto para ser completamente divisible por 16, 17 y 18 respectivamente.

Agreguemos 10 con N para hacer un nuevo número (N + 10) que sea completamente divisible por 16, 17 y 18. Este nuevo número es completamente divisible por 16, 17 y 18 significa que el número es un múltiplo común de 16, 17 y 18, lo que implica que (N + 10) es un múltiplo común de 2, 3, 4, 6, … etc. ¡Claramente (N + 10) es un múltiplo de 12!

Así que jugaremos con este nuevo número en adelante, tenga la seguridad de que hará que nuestro viaje sea un poco más fácil.

Ahora el diablo, M = N ^ 2 + 6N + 16

= N ^ 2 + 20N + 100 -14N – 84

= (N ^ 2 + 2 × N × 10 + 10 ^ 2) – 14 (N + 10) + 56

= (N + 10) ^ 2 – 14 (N + 10) + 56

Como (N + 10) es un múltiplo de 12, (N + 10) ^ 2, 14 (N + 10) también son múltiplos de 12. La diferencia de 2 múltiplos de 12 también es un múltiplo de 12. Dividir 56 entre 12 da 8 como resto.

Por lo tanto, M cuando se divide por 12 deja 8 como resto.