Definición: [matemática] 7 \ diamante a = [/ matemática] 7 ^ 7 ^ 7 ^… (a veces 7) .
Sea [matemáticas] x = 7 \ diamante 51 [/ matemáticas] ………… (0)
[matemáticas] 777 = 7 \ veces 111 [/ matemáticas]
[matemática] x \ equiv 0 \ mod 7 [/ matemática] ………… (1)
Ahora busquemos x mod 111
[matemáticas] 7 ^ 3 \ equiv 343 \ equiv 10 \ mod 111 [/ matemáticas]
[matemática] \ Rightarrow 7 ^ 9 \ equiv 1 \ mod 111 [/ matemática] ………… (2)
[matemáticas] 7 \ diamante 51 = 7 \ veces 7 \ veces… (7 \ diamante 50 \ cuádruple veces) [/ matemáticas] ………… (3)
[matemáticas] 7 ^ 3 \ equiv 343 \ equiv 1 \ mod 9 [/ matemáticas] ………… (4)
[matemáticas] 7 \ diamante 50 = 7 \ veces 7 \ veces… (7 \ diamante 49 \ cuádruple veces) [/ matemáticas] ………… (5)
- ¿Se puede aplicar el principio de la navaja de Occam a las matemáticas, y a la teoría de números en particular, o es relevante solo para las ciencias naturales?
- Digamos que alguien prueba la conjetura primo gemelo. ¿Qué debe hacer él / ella con él?
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- Dado un número n, ¿cuál es la probabilidad de que n sea primo?
- Si la conjetura de Goldbach fuera cierta, ¿cuáles serían las implicaciones?
[matemáticas] 7 \ equiv 1 \ mod 3 \ Rightarrow 7 \ diamond 49 \ equiv 1 \ mod 3 [/ matemáticas]
[matemática] \ Rightarrow 7 \ diamond 49 = 3j + 1 [/ matemática] ………… (6)
Usando (5), (6),
[matemáticas] 7 \ diamante 50 = 7 ^ {(3j + 1)} [/ matemáticas] ………… (7)
Usando (4), (7), [matemáticas] 7 \ diamante 50 \ equiv 7 \ mod 9 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ Rightarrow 7 \ diamond 50 = 9k + 7 [/ matemáticas] ………… (8)
Usando (3), (8),
[matemáticas] 7 \ diamante 51 = 7 ^ {(9k + 7)} [/ matemáticas] ………… (9)
Usando (2), (9), [matemáticas] 7 \ diamante 51 \ equiv 7 ^ 7 \ equiv 34 \ mod 111 [/ matemáticas]
[matemática] \ Rightarrow x \ equiv 34 \ mod 111 [/ matemática] ………… (10)
Ahora,
(también puede usar el teorema del resto chino usando (1) y (10) para obtener
x mod 777 pero para mayor claridad)
De (10), [matemáticas] x = 34 + 111s [/ matemáticas] ………… (11)
Sustituyendo (11) en (1), [matemáticas] 34 + 111s \ equiv 0 \ mod 7 [/ matemáticas]
[matemática] \ Rightarrow 111s \ equiv 1 \ mod 7 [/ matemática]
[matemáticas] 111 \ equiv -1 \ mod 7 \ Rightarrow s \ equiv -1 \ mod 7 [/ matemáticas]
[math] \ Rightarrow s \ equiv 6 \ mod 7 [/ math]
[matemática] \ Rightarrow s = 6 + 7t [/ matemática] ………… (12)
Sustituyendo (12) en (11),
[matemáticas] x = 34 + 111 (6 + 7t) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ Flecha derecha x = 700 + 777t [/ matemáticas]
[matemática] \ Rightarrow x \ equiv 700 \ mod 777 [/ matemática]
Por lo tanto, 7 ^ 7 ^ 7 ^ … (51 veces 7) es 700 módulo 777.