¿Existen números primos en aritmética modular?

Answer 1

Gracias por el A2A.

La definición habitual de un número primo en un anillo conmutativo [math] R [/ math] (que [math] \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z} [/ math] es) es un elemento [math] x \ en R [/ math] que no es ni 0 ni una unidad (es decir, no hay otro elemento [math] y \ en R [/ math] tal que [math] xy = 1 [/ math]) tal que, si [math ] x | ab [/ math] (es decir, [math] ab = xc [/ math] para algunos [math] c \ en R [/ math]), luego [math] x | a [/ math] o [math] x | b [/ matemáticas].

Acabo de arrojarte mucha notación matemática. Pongamos esto en términos más simples: si un primo divide un producto, entonces divide al menos uno de los términos en dicho producto. Esto es definitivamente cierto para los números primos en [math] \ mathbb {Z} [/ math] (los enteros). Por el contrario, solo los números primos pueden satisfacer tal condición.

En el caso de [math] \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z} [/ math], puede haber o no números primos. Si [math] n = p [/ math] es primo, entonces no hay ninguno. De hecho, cada elemento distinto de cero en [math] \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z} [/ math] es una unidad; este es un resultado básico en la teoría de números (quizás en notación más familiar: if [math] x \ not \ equiv 0 \ mod p [/ math], entonces hay un número entero [math] y [/ math] tal que [math] xy \ equiv 1 \ mod p [/ math]).

Si [math] n = p_1 ^ {r_1} \ ldots p_m ^ {r_m} [/ math] no es un número primo, entonces hay números primos, específicamente, los elementos [math] p_1, \ ldots p_m [/ math] . Puedo pensar en una prueba de que en realidad son números primos, pero requiere el uso de ideales.

Una de las respuestas anteriores sugiere una definición diferente de un número primo: que es una no unidad que no se puede escribir como el producto de dos no unidades. Esta es en realidad una condición ligeramente diferente: tales números se conocen como números irreducibles. Es cierto que todos los números primos son números irreducibles. Sucede que en el caso de [math] \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z} [/ math] y [math] \ mathbb {Z} [/ math], todos los números irreducibles son primos, por lo que las definiciones son equivalentes Sorprendentemente, esto no es cierto en los anillos conmutativos generales.

Answer 2

Si. Si define un número primo como un número que no puede escribirse como el producto de dos no unidades, entonces, por ejemplo, 3 es un número primo en el módulo aritmético modular 9.

Sin embargo, debe tenerse en cuenta que siempre que se trate de sistemas numéricos diferentes a los enteros, es mejor hablar de “ideales primos” en lugar de números primos. La razón es que, si bien generalmente no hay unicidad de descomposición primaria en los sistemas numéricos generales, generalmente (en los casos llamados “dominios de Dedekind”) hay una unidad de descomposición de los ideales en ideales primos

Answer 3

Los números primos no son como tales, pero uno obtiene ceros parciales en su lugar.

Por ejemplo, en el módulo 12, uno puede encontrar que 1, 5, 7 y 11 se dividen entre sí, por lo que son más como unidades. 2 y 3 son más como ceros parciales, ya que una vez introducido, no puede multiplicar 2 por algo para obtener 1.

De hecho, dado que 0 = 2 * 2 * 3, uno puede ver que los subconjuntos de estos son más parecidos a cero que los primos conjuntos, y finalmente se dibujan al cero real.