¿A qué magnitud podemos decir que el recuento primo por intervalo cuadrático disminuirá absolutamente?

Answer 1

Primero, solo un punto relacionado: hay algo llamado conjetura de Legendre que establece que hay al menos 1 primo en el intervalo [matemática] [n ^ 2, (n + 1) ^ 2] [/ matemática] para cualquier entero positivo n. Es, hasta ahora, no probado. Eso significa que no podemos estar seguros de que haya NINGÚN primo en el intervalo [matemáticas] [n ^ 2, (n + 1) ^ 2] [/ matemáticas] para cada n.

Ahora, la razón por la que no podemos decir eso nunca:
Deje que [math] a_n [/ math] denote el número de primos en el intervalo [math] [n ^ 2, (n + 1) ^ 2] [/ math]. Suponga que hay algún número entero k tal que [math] \ forall_ {n \ geq k} a_n> a_ {n + 1} [/ math]. Entonces [math] a_ {n + 1} \ leq a_n-1 [/ math], entonces [math] a_ {n + m} \ leq a_n-m [/ math] para cualquier número entero m. Esto significa que [math] a_ {n + a_n + 1} \ leq a_n -a_n -1 = -1 [/ math], pero [math] a_n [/ math] nunca puede ser negativo. Por lo tanto, el número de primos en intervalos cuadráticos no puede ser estrictamente decreciente.

De hecho, como sugiere su fórmula, el número de números primos en el intervalo [matemática] [n ^ 2, (n + 1) ^ 2] [/ matemática] parece estar aumentando. Basta con mirar este gráfico de OEIS del número de números primos en el intervalo [matemáticas] [n ^ 2, (n + 1) ^ 2] [/ matemáticas].
Si está confundido por qué [math] a_n [/ math] parece estar aumentando a pesar del hecho de que la densidad de los números primos tiende a 0, considere esto:
El número de números en el intervalo [matemática] [n ^ 2, (n + 1) ^ 2] [/ matemática] es [matemática] 2 (n + 1) [/ matemática], que crece mucho más rápidamente que [matemática ] \ ln (n) [/ math], por lo tanto, aunque la probabilidad de que un número particular sea primo disminuye, el número de números aumenta mucho más rápido.

Answer 2

NO existe una disminución absoluta (que interpreto como llegar a 0). Siempre hay un número primo entre n ^ 2 y (n + 1) ^ 2 para cualquier n (bueno, n podría ser cualquier real de [math] \ sqrt {2} -1 [/ math] arriba) (puede ser un conjetura pero estoy totalmente de acuerdo :)))