Jack Huizenga señaló correctamente que seguramente podría definir un operador para el que esto fuera cierto. Sin embargo, hay una pregunta mucho más interesante y es: ¿hay un operador autoadjunto cuyo espectro consista en ceros no triviales (menos 1/2, y dividido por i, posiblemente también, con alguna escala adicional).
¿Qué significa ser autoadjunto? En resumen, significa que podemos empujar al operador a través de una forma bilineal: [matemática] \ langle \ psi, A \ phi \ rangle = \ langle A \ psi, \ phi \ rangle \ Rightarrow A [/ math] es autoadjunta (existen algunas condiciones adicionales en el dominio en el que se define su operador, pero no quiero ser demasiado técnico).
Si escribe su operador como una matriz (posiblemente infinita), hay una forma más humana de ver lo que significa autoadjunto: simplemente significa que es igual a su transposición conjugada. Eso no es tan malo.
Un punto crucial de los operadores autoadjuntos es que sus espectros son reales . Por lo tanto, si uno encontrara un operador natural autoadjunto cuyo espectro consistiera en ceros no triviales (menos 1/2, y dividido entre i …), esto probaría automáticamente la hipótesis de Riemann. Esto sería genial
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Pero, ¿por qué deberíamos esperar que pueda haber un operador natural autoadjunto flotando en algún lugar con esta propiedad? Bueno, hay al menos dos razones. Resulta que si observa la distribución de los ceros no triviales, la curva que parecen seguir (desde la fecha que hemos recopilado hasta ahora) parece estar de acuerdo con la distribución predicha de los valores propios de un gran valor aleatorio. matriz autoadjunta (específicamente, el Conjunto Unitario Gaussiano). Esto es prometedor La otra razón por la que sospechamos que esto puede ser cierto se debe al trabajo para los análogos de las funciones zeta (para los campos de funciones, si no recuerdo mal), donde el análogo correspondiente de la hipótesis de Riemann se ha demostrado precisamente porque existe una correspondencia clara entre Funciones zeta de interés y matrices unidas a ellas.