¿Cuál es el dominio complejo de convergencia para la función Dirichlet eta?

Una sola función nunca tiene un “dominio de convergencia”, eso no tiene sentido. Una serie o secuencia de funciones tiene tal dominio.

La función de Dirichlet eta es una función completa, es decir, es una función analítica definida en todo el plano complejo. No tiene singularidades en absoluto, por lo que su dominio es simplemente “en todas partes”.

Hay una serie que a veces se usa como punto de partida para definir la función eta. La serie es:

[matemáticas] \ eta (s) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {(- 1) ^ {n-1}} {n ^ s} [/ matemáticas]

y converge (bajo la definición ordinaria de convergencia de series) para todos [math] s [/ math] con parte real positiva. Pero eso define solo una parte de la función eta; es posible aplicar la suma de Abel a esta serie y obtener la función completa, y también es posible definir toda la función eta directamente de otras maneras.

La serie converge solo para s con una parte real mayor que cero. Sin embargo, la función dirichlet eta se puede extender a números complejos con partes reales negativas. Ver http://en.m.wikipedia.org/wiki/D … para la fórmula de eta (-s) en términos de eta (s)