¿Existe una gran clase de secuencias ‘sumables’ que incluye la secuencia de todos los enteros positivos?

Answer 1

No , las propiedades que enumera son imposibles de satisfacer. Es fácil ver por qué:

-La secuencia a = (1,2,3,4, …) debe estar en V (propiedad 2)
-La secuencia b = (0,1,2,3, …) debe estar en V, y s (b) = s (a) (propiedad 4).
-La secuencia ab = (1,1,1, …) debe estar en V, y s (ab) = 0 (V es un espacio vectorial y s es lineal).
-La secuencia c = (0,1,1,1, …) debe estar en V, y s (c) = 0 también (propiedad 4).
-La secuencia abc = (1,0,0, …) debe estar en V, y s (abc) = 0 (V es un espacio vectorial y s es lineal).

Pero esto es absurdo, porque la secuencia (1,0,0, …) converge en el sentido habitual, y su suma es 1, no 0.

He escuchado que muchas personas (especialmente los físicos) desatan mucho sobre 1 + 2 + 3 + … siendo igual a -1/12 en un sentido significativo, pero cada uno de ellos resultó ser un charlatán. Tenga en cuenta especialmente que este popular video de YouTube asume implícitamente las propiedades 1,2 y 4, por lo tanto, se contradice a sí mismo y podría haber “probado” que la suma es cualquier otro número tan fácilmente como -1/12.

Answer 2

Los axiomas que ha enumerado se denominan (0) linealidad, (1) regularidad y (4) estabilidad, suponiendo que se refería a un número finito de ceros; consulte las propiedades de los métodos de suma. Existen varios métodos de suma que asignan [matemática] 1 + 2 + 3 + \ cdots = \ tfrac {1} {12} [/ matemática], incluyendo la regularización de la función zeta y la suma de Ramanujan, pero solo son lineales y regulares, no estables . La estabilidad se considera menos importante para las aplicaciones donde se utilizan tales series.