Cómo demostrar que una función puede expresarse como una suma de series de potencia cercanas a 0

Answer 1

Supongo que por “cerca de 0” quiere decir que hay algún vecindario de 0 donde converge la serie de potencia. En otras palabras, desea mostrar que la serie de potencia centrada en 0 tiene un radio de convergencia positivo.

Como dice Vytautas Jančauskas, la serie de potencia para [math] \ ln (1-x) [/ math] centrada en 0 es bastante sencilla de calcular como una serie de Taylor; y multiplicar eso por [math] (1-x) [/ math] realmente no afecta su convergencia. Luego puede usar la prueba raíz para calcular el radio de convergencia. (Si no está seguro de cómo hacerlo, estoy bastante seguro de que una simple búsqueda en Google lo ayudará a encontrar una demostración).

Anexo: Mi respuesta anterior asume que estamos estrictamente tratando con una función de valor real. Si consideramos esto como una función de valor complejo, es suficiente con mostrar que la función es complejamente diferenciable en una vecindad de 0 (es decir, holomórfica en 0).

Answer 2

Mire cómo se calculan las series de Taylor, el proceso en sí mismo es una especie de prueba constructiva.