La aritmética es un tema generalmente difícil para el que tenemos pocas técnicas disponibles. Las formas modulares tienen el buen gusto de ser razonablemente computables. Para el grupo completo [matemática] SL_2 (Z) [/ matemática] esta es una forma modular. Para otros subgrupos de [matemáticas] SL_2 (Z) [/ matemáticas] esto es más complicado pero aún factible (Formas modulares, un enfoque computacional, William Stein). Para grupos de mayor rango como [matemáticas] SL_3 (Z) [/ matemáticas] o grupos simplécticos, esto es más o menos un tema de investigación, pero existen algunos métodos (ver el apéndice del libro de Gunnells mencionado anteriormente).
Aquí hay algunos ejemplos de aplicaciones donde los formularios modulares juegan un papel clave:
- Para redes reticulares unimodulares, la serie theta correspondiente es una forma modular. Básicamente, esto significa que con información mínima, podemos encontrar la serie theta de dicha red. Se necesita más trabajo para encontrarlo, pero bueno, eso es un comienzo.
- En el campo de la luz de la luna monstruosa, se demostró que algunas funciones de los personajes eran funciones modulares. Este sigue siendo un tema de investigación importante.
- Algunas formas modulares se denominan formas modulares cúspides , es decir, el conjunto de puntos en los que se desvanecen es especialmente interesante. El ejemplo prototipo es la función Dedekind eta que admite una expresión como producto infinito. Como subproducto, esto da muchas identidades combinatorias (ver The 1-2-3 of Modular Forms, Jan Hendrik Bruinier, Gerard van der Geer, Gunter Harder, Don Zagier, Kristian Ranestad)
- Otro ejemplo significativo son las curvas elípticas modulares. El número de puntos de la curva en un módulo de reducción p da una forma modular, vea para una introducción Curvas elípticas y formas modulares. La prueba del teorema de modularidad implicaba el último teorema de Fermat.
- Otras aplicaciones de formas modulares para equidistribuir puntos y gráficos de expansión se dan en Algunas aplicaciones de formas modulares, Peter Sarnak.