No sé cómo un teórico de números prueba esto, pero lo probaré como lo haría un algebraista (o al menos, como lo haría un teórico de celosía).
Primero, definamos una relación [matemáticas] \ mid [/ matemáticas] (lea “divide”) en el conjunto de enteros positivos. Es fácil comprobar que esta relación es un orden parcial en el conjunto: es reflexiva (por cada [matemática] m [/ matemática], [matemática] m \ media m [/ matemática]), antisimétrica (si [matemática] m \ mid n [/ math] y [math] n \ mid m [/ math], luego [math] m = n [/ math]), y transitivo (si [math] m \ mid n [/ math] y [math] n \ mid p [/ math], luego [math] m \ mid p [/ math]).
Ahora, definamos el límite inferior más grande de dos elementos [math] m [/ math] y [math] n [/ math] como cualquier entero positivo [math] g [/ math] que divide ambos [math] m [/ math] y [math] n [/ math] ([math] g \ mid m [/ math] y [math] g \ mid n [/ math]) de modo que no haya otro número entero positivo [math] h [/ matemática] que divide tanto [matemática] m [/ matemática] como [matemática] n [/ matemática], con [matemática] g \ mid h [/ matemática].
[matemática] g \ mid m, \ g \ mid n, \ \ not \ exist h \ ne g, \ h \ mid m, \ h \ mid n, \ g \ mid h [/ math].
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¿Existe un límite inferior tan grande para cada par de enteros positivos? Sí, y no es más que el MCD de los dos enteros. Además, es único. Por conveniencia, denotemos el límite inferior más grande único (o MCD) de [matemática] m [/ matemática] y [matemática] n [/ matemática] como [matemática] m \ wedge n [/ matemática] (lea “m meet n “- esta es una operación binaria en el conjunto de enteros positivos).
Observe que debido a que el límite inferior más grande [matemática] g [/ matemática] de cualquiera de los dos enteros positivos [matemática] m [/ matemática] y [matemática] n [/ matemática] es única, cualquier límite inferior [matemática] h [/ matemática ] de [matemáticas] m [/ matemáticas] y [matemáticas] n [/ matemáticas] debe dividir el límite inferior más grande. De lo contrario, [math] h [/ math] o un múltiplo de [math] h [/ math] es otro límite inferior mayor de [math] m [/ math] y [math] n [/ math].
Entonces, lo que deseamos demostrar es que la operación de encuentro (o MCD) es asociativa – [matemática] m \ wedge (n \ wedge p) = (m \ wedge n) \ wedge p [/ math].
Demuestre el lema a continuación:
Lema 1
Si [math] a \ mid b [/ math] y [math] c \ mid d [/ math], entonces [math] a \ wedge c \ mid b \ wedge d [/ math].
Ahora demostramos la asociatividad de la operación de encuentro (o función GCD).
Sea [math] g = m \ wedge (n \ wedge p) [/ math], y [math] h = (m \ wedge n) \ wedge p [/ math].
Ya que
[math] m \ wedge n \ mid m [/ math] y [math] (m \ wedge n) \ wedge p \ mid m \ wedge n [/ math],
tenemos, por transitividad, [matemáticas] (m \ wedge n) \ wedge p \ mid m [/ math], o
[matemáticas] h \ mid m [/ matemáticas].
Además, desde
[matemática] m \ cuña n \ media n [/ matemática] y [matemática] p \ media p [/ matemática] (reflexividad),
tenemos, por el Lema 1, [matemáticas] (m \ wedge n) \ wedge p \ mid n \ wedge p [/ math] o
[matemáticas] h \ mid n \ wedge p [/ matemáticas].
Así tenemos,
[math] h \ mid m [/ math] y [math] h \ mid n \ wedge p [/ math],
entonces, por definición, [matemáticas] h [/ matemáticas] es un límite inferior de [matemáticas] m [/ matemáticas] y [matemáticas] n [/ matemáticas].
Pero [math] g = m \ wedge (n \ wedge p) [/ math] es el límite inferior más grande de [math] m [/ math] y [math] n [/ math].
Por lo tanto,
[matemáticas] h \ mid g [/ matemáticas] (como observamos anteriormente).
De manera similar, podemos demostrar que
[matemáticas] g \ mid h [/ matemáticas].
Entonces, por antisimetría, tenemos
[matemáticas] g = h [/ matemáticas]
o
[matemática] m \ wedge (n \ wedge p) = (m \ wedge n) \ wedge p [/ math].
¡Entonces, la operación de encuentro es asociativa! Ahora puede probar fácilmente por inducción que la combinación de enteros positivos [math] k [/ math] también tiene el mismo valor independientemente de los paréntesis.
Nota: Un teórico de números probablemente tiene una prueba más simple (quizás una versión más corta de la misma prueba), pero no lo sé, y me parece más interesante enseñar un poco de álgebra cada vez que tengo una excusa.